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2013年10月 4日 (金)

規則性の問題 数の並び 第68問 フィボナッチ数列 (洛星中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (洛星中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

     難易度★★★★★

 

整数の列【A】 5,8,20,80,・・・ があります。

この列【A】は、ある数と次の数の積を2で割ったものが

その次の数となるようにできています。たとえば、1番目の

数5 と 2番目の数8 の積を2で割ったものが、3番目の数

20 になっています。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)この列【A】の6番目、7番目の数は、一の位から数えて

   何個0が続きますか。

(2)この列【A】の13番目の数は、一の位から数えて

   何個0が続きますか。

(3)この列【A】のそれぞれの数について、

   90 → 9  、 120300 → 1203

   のように、一の位から続いて並んでいる 0 だけを取り除いた

   数の列【B】 5,8,2,8,・・・ を作ります。

   (ア)列【B】の6番目、7番目の数は、それぞれ 2 で何回

     割り切れますか。

   (イ)列【B】の10番目、15番目の数は、それぞれ 2 で

     何回割り切れますか。

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解答

 (1)列【A】の続きを書いてみると、

     5,8,20,80,800,32000,12800000,

となるので、6番目には 0 が 3個、7番目には 0 が 5個

一の位から続きます。

 

 (2)0の個数は、その1つ前と、2つ前の 0の個数の和に

なっています。(1つ前と、2つ前をかけるので、そうなります)

 

列【A】の 0の個数を書くと、

    0,0,1,1,2,3,5,・・・

となります。これは【フィボナッチ数列】と呼ばれるもので、

13番目まで、続きを書くと以下のようになります。

    0,0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89

よって、13番目の数は、一の位から 89個 の 0が続きます。

 

 (3)(ア)列【B】を7番目まで書いてみると、

      5,8,2,8,8,32,128

となっていて、

 6番目 : 32=2×2×2×2×2

 7番目 : 128=2×2×2×2×2×2×2

なので、6番目は 5回、7番目は 7回、2で割り切れます。

 

 (3)(イ)列【B】のある数は、1つ前の数と、2つ前の数の積を

2で割ったものなので、2で割れる回数は、1つ前の数を2で

割れる回数と 2つ前の数を2で割れる回数から1を引いたもの

になります。

 

列【B】を2で割れる回数を書くと、

  0,3,1,3,3,5,7

となっています。7番目の7は、5番目(3)+6番目(5)-1です。

 

この続きを書くと、

  0,3,1,3,3,5,7,11,17,27,

  43,69,111,179,289

となり、

  10番目の数は、2で 27回

  15番目の数は、2で 289回

それぞれ割り切れることがわかります。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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