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2013年10月18日 (金)

ニュートン算 第10問 (灘中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (灘中学 入試問題 2012年 算数) 難易度★★★★

 

あるタンクには注水用のホースA が何本かと、排水用のホースB

が何本か備え付けられています。ホースA の1分ごとの注水量は

一定です。また、ホースB の1分ごとの排水量は、タンクの水量が

満水時の半分になるまでは一定で、タンクの水量が満水時の

半分以下になると、1分ごとの排水量はタンクの水量が満水時の

半分になるまでの 3/4 になります。

 

まず、満水のタンクで、注水用のホースA を2本と排水用の

ホースB を3本使って、注水と排水を同時に行うと、ちょうど

2時間でタンクは空になりました。次に、タンクを満水にして

から、注水用のホースA を8本と排水用のホースB を6本

使って、注水と排水を同時に行うと、先ほどより早くタンクは

空になりましたが、タンクの水量が満水時の半分になって

から空になるまでの時間は、どちらの場合も同じでした。

このとき、次の問に答なさい。

 

(1)タンクの水量が満水時の半分になってから空になる

   までの時間は何分でしたか。

(2)注水用のホースA を8本と排水用のホースB を6本

   使って注水と排水を同時に行ったとき、満水時から

   タンクが空になるまでの時間は何分でしたか。

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解答

 (1)ホースA 1本が1分間に注水する量を【 1 】とします。

ホースB 1本が1分間に排水する量を < 4 > とします。

タンクの満水時の水量を [  2  ] とします。

 

ホースA 2本、ホースB 3本で、2時間(120分)で空になり、

ホースA 8本、ホースB 6本で、2時間より速く空になります。

 

どちらの場合も、タンクの水量が [  1  ]になってから

空になるまでの時間が等しいので、その時間を □分 とすると、

  [  1  ]+【 2 】×□分 = < 9 >×□分  ・・・(A)

  [  1  ]+【 8 】×□分 = < 18 >×□分 ・・・(B)

となります。(A)の式と(B)の式の差を見ると、

          【 6 】×□分 = < 9 >×□分

なので、【 2 】 = < 3 > ・・・(★) ということがわかります。

 

このことから、(A)の式は、

  [  1  ]+【 2 】×□分 = 【 6 】×□分

とすることができ、(★)より、

  [  1  ] = 【 4 】×□分 = < 6 >×□分 ・・・(☆)

ということがわかります。

 

ホースA 2本、ホースB 3本を用いたとき、タンクの水量が

半分になるまでの時間を △分 とすると、□+△=120分 で、

  [  2  ] + 【 2 】×120分(□+△) 

          = < 12 > ×△ +< 9 >×□

ということで、(★)と(☆)より、

  < 12 >×□ + < 3 >×( □+△ ) 

          = < 12 > ×△ +< 9 >×□

より、< 15 >×□ + < 3 >×△ 

          = < 12 > ×△ +< 9 >×□

となり、< 6 >×□ = < 9 >×△

なので、 □ : △ = 3 : 2 です。

よって、□+△=120分なので、

     □=120÷(3+2)×3=72分

と求められます。

 

 (2)ホースA 8本、ホースB 6本で、タンクの水量が満水時の

半分になるまでにかかる時間を ▽分とすると、

 [  1  ] = < 6 >×72分より、

 < 6 >×72分 + 【 8 】×▽ = < 24 >×▽

となり、(★)より、

 < 6 >×72分 + < 12 >×▽ = < 24 >×▽

なので、

 < 6 >×72分 = < 12 >×▽

 ▽=36分

とわかります。

 

よって、かかった時間は、▽+□=36+72=108分 です。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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