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2013年10月 7日 (月)

速さ 第58問 (筑波大学附属駒場中学 2001年(平成13年度) 受験問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2001年 受験問題 算数)

     難易度★★★

 

下の図のように、半円部分と50mの直線部分でできた走路が

あります。この走路は、第1コースが1周200mで、第2コースが

1周206mになっています。

Pic_2756q

A君、B君、C君はこの走路を、図の矢印の向きに、それぞれ

一定の速さで走ります。A君が100m走る間にB君が80m

走るとき、次の問に答えなさい。

 

(1)A君が図のアの位置から第1コースを、B君がアより前方の

   位置から第2コースを、同時に走り始めたとき、B君がちょうど

   100m走ったところでA君に追いつかれました。B君が走り

   始めた位置はアより何 m 前方ですか。

(2)図のアの位置から、A君は第1コースを、B君は第2コースを、

   同時に走り始めて何周もまわると、A君はB君を何度も追い

   ぬきます。2度目に追いぬくのは、A君が何周目を走っている

   ときですか。

(3)図のアの位置から、A君は第1コースを、C君は第2コースを、

   同時に走り始めて、A君が1周する間にC君を追いぬくことが

   ありました。C君が100m走る間にA君が何 m 走っているか

   考えるとき、そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの

   単位で考えて、最も小さい整数を答えなさい。

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解答

 (1)A君が100m走る間にB君が80m走るので、

A君とB君の速さの比は、5 : 4です。

 

B君が100m走る間にA君は125m走るので、

B君が走り始めた位置はA君が走り始めた位置アより、

125-100=25m 前方、という簡単な問題ではありません。

 

下の図1のように、B君が100m走る間に、2人は

赤い部分(50m)、青い部分(53m)を通ります。

Pic_2757a_2

B君が100m走る間に、A君は125m走りますが、その場合、

さらにコースのキョリの差である3m余計に前に出てしまいます。

 

このことから、B君がアの位置から25mより、さらに3m前方、

28m 前方の位置から走り始めたことがわかります。

 

 (2)簡単に考えましょう。A君が1周(200m)走る間に

B君は160m走るので、B君の1周(206m)まで46m

足りません。

 

A君が2周すると、B君は2周目まで残り46×2=92mです。

A君が5周すると、B君は5周目まで残り46×5=230mで、

ここで、1度B君はA君に抜かれています。(206mより多いので)

A君が10周すると、B君は10周目まで460mで、2周分より多く、

A君が9周すると、B君は9周目まで414mで、2周分よりまだ多く、

A君が8周すると、B君は8周目まで368mで、2周差になりません。

よって、9周目のとちゅうにA君はB君を抜くことがわかります。

 

 (3)まず、A君はC君より速いのでしょうか?おそいのでしょうか?

A君がC君より速かったら、A君の方がC君より走るキョリは短く、

常に前に行くこととなり、1周目にC君を抜くということはないです。

(抜くとしたら2周目以降)

 

1周目に抜くということは、A君はC君よりおそい、けれど、

カーブの部分でC君を抜いてしまう。という絶妙な速度と

いうことになります。

 

つまり、A君が80m走る間にC君は83m走れば、

下の図2のイでは、C君が先にいて、ウではちょうど追いつくことに

なります。

Pic_2758a

このとき、C君が100m走る間に、A君は

  80÷83 ×100=96.3・・・(m)走るので、

追い抜ける最も小さい整数は、97(m)となります。

 

また、図2のオの地点で追いつくことを考えると、

A君が180m走る間に、C君は186m走ることになり、

C君が100m走る間にA君は、

  180÷186 ×100=96.7・・・(m)走ればよく、

A君は97(m)で走れば追いぬくことができます。

 

以上より、こたえは 97 です。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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