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2013年9月12日 (木)

論理 第41問 (東海中学 受験問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (東海中学 受験問題 2011年 算数) 難易度★★★★

 

11,12,13 の数字が書かれたカードが、それぞれ 4枚ずつ

あります。この12枚のカードをA君、B君、C君の3人に 4枚

ずつ配ります。持っている 4枚のカードに書かれた数字の和を

得点① とし、得点① の約数の個数を得点② とします。初めに

配ったとき、得点① は全員同じで、B君のカードは 4枚とも同じ

数字でした。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)3人のカードを1枚ずつ集めて配り直したところ、A君とB君

   の得点② の差が 7点でした。C君の得点② を求めなさい。

(2)(1)の配り直されたカードを元にもどし、3人のカードを2枚

   ずつ集めて配り直したところ、3人の得点① がすべて異なり

   得点② の最高点は 4点でした。3人の得点① を小さい順に

   書きなさい。

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解答

 (1)3人の得点① が同じになるのは、B君が4枚とも【12】の

カードを持っているときです。(11×4=44、13×4=52 は、

他の2人がどのようなカードを配られても同じ点数にはできない)

 

A君、C君のカードは、(11,11,13,13)になり、3人の

得点①は、48点です。

 

カードを1枚配りなおしたとき、

  A君、C君 → 46点、47点、48点、49点、50点

  B君 → 47点、48点、49点

になる可能性があります。

 

46~50について、得点②を考えると、

 46 ・・・ 4点  47 ・・・ 2点  48 ・・・ 10点

 49 ・・・ 3点  50 ・・・ 6点

となるので、差が7点となるのは、

 A君 ・・・ 48 、B君 ・・・ 49 、 C君 ・・・ 47

 A君 ・・・ 49 、B君 ・・・ 48 、 C君 ・・・ 47

の2通りが考えられます。

 

どちらの場合も、C君は得点①が47になり、C君の得点②は

2点 とわかります。

 

 (2)3人のカードは、

    A君 : 11,11,13,13 合計48点

    B君 : 12,12,12,12 合計48点

    C君 : 11,11,13,13 合計48点

となっていて、ここから2枚ずつ集めて配りなおし、3人とも

合計点が異なり、得点②の最高点が4点になります。

 

A君とC君がとることが可能な点数①は、

 52点(2枚の11が13になる)から44点(2枚の13が11になる)

B君がとることが可能な点数①は、

 50点(2枚の12が13になる)から46点(2枚の12が11になる)

となります。

 

44~52について、得点②を考えると、

 44 ・・・ 6点  45 ・・・ 6点   46 ・・・ 4点

 47 ・・・ 2点  48 ・・・ 10点  49 ・・・ 3点

 50 ・・・ 6点  51 ・・・ 4点   52 ・・・ 6点

なので、得点②の最高が4点なので、3人がとることが可能な

点数は、46,47,49,51 のどれかになります。

 

3人の合計点が144点で、平均が48点であることから、

48点を中心に考えると、

1人が51点のとき、残りの2人は、47点、46点で平均48点(○)

1人が49点のとき、残りの2人は、48点、47点で平均48点(×)

となり、3人がとることができる得点①は、小さい順に

     46点、47点、51点

となる1通りのみとなります。

 

 

 東海中学の過去問題集は → こちら

 東海中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(1)について、約数の個数は普通は偶数なのでその差が奇数になるとすれば一方は平方数であることに気づくと、A君とB君の得点は49(約数3個)と48(約数10個)であることが早くわかりますね。
とはいえ、44から52の整数の中で約数の個数が10個である数を見つけるのは「約数が多そうな48がそれではないか」という感覚に頼る事になりますが。

(2)の46,47,49,51から3つ選ぶやり方については、それらを全部足すと193になり、カードの合計が144なので
193-144=49
で、49が除かれるべき候補であると考えました。

投稿: 万打無 | 2013年9月12日 (木) 18時42分

万打無さま、コメントありがとうございます。
 
なるほど、そのように考える事もできますね。
感覚というのも大事ですので、アリだと思っています。
 
また、お気づきの点などございましたら
コメントよろしくお願い致しますm(_ _)m

投稿: 桜組 | 2013年10月11日 (金) 20時14分

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