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2013年9月27日 (金)

場合の数 第66問 組み合わせ (聖光学院中学 入試問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (聖光学院中学 入試問題 2011年 算数)

     難易度★★★★

 

1から 6までの目が書かれているサイコロを何回か振って、

そのときの出た目の数によって、お皿の上にあるケーキを

次々に等分していくことを考えます。ただし、1の目が出た

ときはお皿の上のケーキを新しいものに取りかえるものと

します。

 

たとえば、サイコロを2回振って、出た目が順に 3,2 の

ときは、まずケーキを3等分し、次にそれぞれのケーキを

さらに2等分します。サイコロを3回振って、出た目が順に

3,1,4 のときは、まずケーキを3等分し、次にお皿の上の

ケーキを新しいものに取りかえ、さらにそのケーキを4等分

します。(下の図1参照) このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3556q

(1)サイコロを3回振ったところ、出た目の数は順にA,B,Cで、

   最後にできた1つのケーキの中心角は 15度でした。

   A,B,C に入る数の入れ方は全部で何通りありますか。

(2)サイコロを3回振ったところ、最後にできた1つのケーキの

   中心角は30度以60度以下でした。

   (ア)1の目が1回出るときの目の出方は何通りありますか。

   (イ)目の出方は全部で何通りありますか。

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解答

 (1)ケーキの中心角が15度になるには、360÷15=24等分

される必要があります。

 

① 1回で24等分はできません。

② 2回で24等分する場合 → 1回目は【1の目】

  24=4×6 なので、(2回目、3回目)の目の出方は、

  (4,6) または (6,4) の2通りが考えられます。

③ 3回で24等分する場合

  24=2×2×6=2×3×4 なので、

  2×2×6 の場合 : (2,2,6)、(2,6,2)、(6,2,2)

  2×3×4 の場合 : 3×2×1=6通り

 

以上より、A,B,C に入る数の入れ方は、

  2+3+6=11通り

となります。

 

 (2)(ア)まず、何を調べればよいかというと、

    ケーキの中心角が30度 → 360÷30=12等分

     ケーキの中心角が60度 → 360÷60=6等分

なので、6等分、8等分、9等分、10等分、12等分されるときの

目の出方を調べればよいことになります。(7等分と11等分は

不可能)

 

1の目が1回出るときの目の出方について考えると、

①6等分される場合

  1回目が1の場合 → 6=2×3 より、(1,2,3)、(1,3,2)

  2回目が1の場合 → 1回目は、2~6の目、3回目は6の目

  となる場合があり、2+5=7通り があります。

②8等分される場合

  1回目は1の目 → 8=2×4 より、(1,2,4)、(1,4,2)

  の2通り があります。

③9等分される場合

  1回目は1の目 → 9=3×3 より、(1,3,3) の1通り

④10等分される場合

  1回目は1の目 → 10=2×5 より、(1,2,5)、(1,5,2)

  の2通り があります。

⑤12等分される場合

  1回目は1の目 → 12=2×6=3×4 より、

  (1,2,6)、(1,6,2)、(1,3,4)、(1,4,3) の4通り が

  あります。

 

以上より、7+2+1+2+4=16通り があります。

 

 (2)(イ)(ア)以外の場合を考えます。すなわち、

① 1の目が1回も出ない場合

  6,8,9,10,12 のうち、3つの数の積で表せるものは、

      8=2×2×2  → 目の出方 1通り

      12=2×2×3 → 目の出方 3通り

  以上、4通りがあります。

 

② 1の目が2回出る場合

   (1,1,6)の1通りがあります。

 

よって、目の出方は全部で、16+1+3+1=21通り です。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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