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2013年9月 6日 (金)

反射 第10問 (洛星中学 入試問題 2009年(平成21年度) 算数)

 

問題 (洛星中学 入試問題 2009年 算数) 

     難易度★★★★★

 

長方形の白い用紙の上に1辺の長さが2cmの正方形のコマを

置き、用紙からはみ出さないように、次の規則で移動させました。

 

 ・ 移動の開始は用紙の1つの角(かど)からとし、常にコマの

   対角線の向きに移動させる(図1)

 ・ 用紙のはしにぶつかったときには、移動の向きを90°変える

   (図2)

 ・ 移動開始の後、最初に用紙の角の1つに到達したところで

   移動を終了する(図3)

Pic_0511

 この移動により、コマが通過した用紙の部分を黒くぬりました

(移動開始前および移動終了時にコマがある部分も黒くぬりました)

  

 (1)用紙がたて22cm、横32cmの長方形のとき、コマは何回

     移動の方向を変えましたか。

 (2)用紙がたて22cm、横32cmの長方形のとき、黒い部分の

    面積を求めなさい。

 (3)用紙がたて32cm、横44cmの長方形のとき、コマが10回

    移動の方向を変えた後、移動を終了しました。このとき、

    黒い部分の面積を求めなさい。

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解答

 (1)コマはコマの対角線の向きに動くので、コマが動いたときの

たて、横の長さは等しいです。すなわち、コマがたてに20cm

動いたとき、横にも20cm動いた位置にいることになります。

 

次にコマの中心の動きを追うとわかりやすいことに気づきましょう。

Pic_0512

コマが、たて22cm横32cmの用紙の内側を動くとき、コマの中心は

たて20cm、横30cmの部分を動き、角に到着したときに移動を

終えることになります。

 

コマはたて、横ともに等しい長さを移動するので、角に到着するまで

移動した、たての長さの全長と、横の長さの全長が等しくなります。

つまりコマが移動した距離は、たて:20cm×○、横:30cm×□ 

で、これが等しくなるので、○=3、□=2が入り、20×3=30×2

=60というのは、20と30の最小公倍数を求めたことになります。

 

実際にたて20cm、横30cmの用紙を用いて1辺60cmの正方形を

描いてみると、コマの中心の動きは下図のようになります。

  Pic_0513_2

コマが移動の向きを変えるのはA,B,Cの3点でですが、

これは、コマの動きを直線に直した場合、6枚の用紙の境界の

A,B’,C’の3箇所で交わっていることからもわかり、

コマは 3回 移動の方向を変えたことになります。

 

 

 (2)直線で考えた場合と、反射した場合では、下図のように、

赤い三角形1つ分(コマの1/4と等しい)面積が多くなります。

反射が3回あるので、3個分になります。

      Pic_0514_2

また、1回交差します。この部分の面積がコマの2個分の面積です。

    

 直線で動いたときの面積は下図のように、

   Pic_0517

底辺4cm、高さ60cmの平行四辺形の面積+コマ1つ分の面積

=4×60+4=243c㎡ から

2×2÷4×3+2×2×2=11c㎡を除いた、

244-11=233c㎡ が黒い部分の面積となります。

 

 

 (3)たて32cm、横44cmのとき、コマの中心は、たて30cm、

横42cmの用紙の範囲を動きます。30と42の最小公倍数は、

30×7=42×5=210 より、1辺210cmの正方形の対角線上を

コマが動くことと見なせます。

  

 (2)と同様に、10回移動の方向を変えるので、(2)の赤い

三角形10個分の面積 : 2×2÷4×10=10c㎡ を除きます。

 

 次に、何回交差したのか数えなければいけません。

たて30cm、横42cmなので、30:42=5:7より、

簡単に、たて5cm、横7cmの長方形と考えて、コマの中心の

移動を描くと、まず、たてに5cm、よこに5cm進み、

そこで方向を変え、次にたて2cm、横2cm進み、・・・・・・となります。

Ido_010_2

すると、交点が12個となるので、交点での面積は

     2×2×2×12=96c㎡ 

となり、黒い部分の面積は、

     (4×210+4)-(10+96)=738c㎡ 

となります。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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