点の移動 第４３問 （開成中学 受験問題 2007年（平成19年度） 算数）

問題　（開成中学　受験問題　2007年　算数）　難易度★★★

一定の速さで 一つの円周をまわる ３つの点Ａ，Ｂ，Ｃ があります。

Ａ とＢ は同じ向きに、Ｃ はＡ，Ｂ とは反対の向きに進みます。

３つの点Ａ，Ｂ，Ｃ が同じ地点から １時ちょうどに出発しました。

Ａ とＣ は １時２分に、Ｂ と Ｃ は１時７分に、出発後初めて

出会いました。また、Ａ は１時２分３０秒に初めて元の地点に

もどりました。このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ｂ が初めて元の地点にもどる時刻を求めなさい。

（２）Ａ がＢ に初めて追いつく時刻を求めなさい。

（３）Ａ，Ｂ，Ｃ が初めて正三角形の ３つの頂点となる時刻を

　　 求めなさい。

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解答

　（１）点Ａ は １時２分に Ｃ と出会い、１時２分３０秒に元の位置に

もどるので、点Ａ は点Ｃ が２分かかるキョリを ３０秒 で移動する

ということがわかり、点Ａ と点Ｃ の速さの比 は、４　：　１ です。

点Ｃ が ３０秒で　【　１　】のキョリを進むとすると、

点Ａ は ３０秒で　【　４　】のキョリを進むので、円１周は 【　２０　】

のキョリとして表すことができます。

点Ｂ と点Ｃ は１時７分に出会うので、７分で点Ｃ は 【　１４　】

のキョリを進むので、点Ｂ は ７分で、

　 【　２０　】　－　【　１４　】　＝　【　６　】

のキョリを進むことがわかり、

点Ｂ は ３０秒で 【　６　】 ÷ １４ ＝　【　３/７　】のキョリを進み、

１周するのにかかる時間は、

　７分　：　【　６　】　＝　□分　：　【　２０　】

より、

　□　＝　７×２０÷６　＝　７０/３分　＝　２３分２０秒　

なので、点Ｂ が初めて元の地点にもどるのは、１時２３分２０秒

です。

　（２）点Ａ と点Ｂ が 【　２０　】のキョリの差があると考えればよく、

点Ａ が １分で　【　８　】、点Ｂ が １分で 【　６/７　】進むので、

点Ａ が 点Ｂ に追いつくのは、

　　　　　【　２０　】　÷　（　【　８　】　－　【　６/７　】）

　　　＝　２．８分後　＝　２分４８秒後

なので、１時２分４８秒 です。

　（３）１周 【２０】 の長さとすると、３つの点が正三角形になるとき、

それぞれの点は 【　２０/３　】ずつ離れていることになります。

点Ａ と点Ｃ は ３０秒で 【　４　】　＋　【　１　】　＝　【　５　】ずつ

離れるので、【　２０/３　】離れるのは、

　 【　２０/３　】　÷　【　５　】　×　３０秒　＝　４０秒後

次に、【　４０/３　】離れるのは、４０×２＝８０秒後

Ａ と Ｃ が重なるのは １２０秒後（２分後） のように動きます。

４０秒後、８０秒後、１６０秒後、２００秒後、２８０秒後、・・・のとき

点Ｂ の位置について考えます。

点Ｂ と点Ｃ は ３０秒で 【　１　】＋【　３/７　】＝【　１０/７　】

離れるので、４０秒では、　

　 【　１０/７　】　÷３　×４　＝　【　４０/２１　】

離れます。

【　２０/３　】離れるのは、

　【　２０/３　】　÷　【　４０/２１　】×４０＝１４０秒かかり、

【　４０/２　】離れるのは、１４０×２＝２８０秒後

重なるのは、４２０秒後（７分後）です。

ここで、２８０秒後は、点Ａ が点Ｃ から反時計回りに ６０°先に

いて、点Ｂ は点Ｃ から時計回りに ６０°先にいるので、

３点で正三角形を作ることがわかります。

よって、３点Ａ，Ｂ，Ｃ が初めて正三角形の３つの頂点となるのは

２８０秒後の１時４分４０秒です。

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