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2013年9月 4日 (水)

場合の数 第65問 組み合わせ (早稲田中学 入試問題 2007年(平成19年度) 算数)

 

問題 (早稲田中学 入試問題 2007年 算数) 難易度★★★

 

下の図のような高さが 6cm の正三角形の内部の点P から

辺BC,CA,AB へ垂線を引き、その長さをそれぞれ xcm、

ycm、zcm とします。x、y、z がすべて整数であるような点Pは

三角形ABC の内部に何個存在しますか。

    Pic_3550q

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解答

 正三角形の面積は、BC × 6 ÷ 2 として表すことができます。

 

x、y、z を用いると、BC=AC=AB なので、

  BC × x ÷2 + AC × y ÷2 + AB × z ÷2

=BC × ( x + y + z ) ÷ 2

と表すことができるので、x+y+z=6 となります。

 

x+y+z=6 となる整数x、y、z の組は、

(x、y、z)=(1,1,4)、(1,4,1)、(4,1,1) ・・・ 3通り

       (1,2,3)、 ・・・ 、(3,2,1) ・・・ 6通り

       (2,2,2) ・・・ 1通り

合計 10通り あるので、x、y、z がすべて整数である点P は

10個 存在します。

 

 

 早稲田中学の過去問題集は → こちら

 早稲田中学の他の問題は → こちら

 

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