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2013年8月 2日 (金)

数の性質 第79問 (広尾学園中学 入試問題 2010年(平成22年度) 算数)

 

問題 (広尾学園中学 入試問題 2010年 算数) 

     難易度★★★★

 

2010 は 2×3×5×67 の答えとなっています。ここで、【67】に

注目して、数の積に関する法則を見てみました。下の表は、67に

1から順に整数をかけた積のうち、下3ケタの部分をまとめたもの

です。この表を参考にして、次の問に答なさい。

      Pic_3521q

(1) 67×11 を計算すると、下3ケタはいくつになりますか。

(2) 67に、ある2ケタの数をかけると、下2ケタの部分は 74

    になりました。そのときの百の位の数はいくつですか。

(3) 11,12,13 のように、3つの連続する2ケタの整数の

   組を選び、それぞれに 67 をかけたところ、百の位が

   0,1,2 となりました。そのような連続する2ケタの整数の

   組の中で、もっとも小さいものを見つけ、その最初の数を

   答えなさい。

(4) 67 に、ある整数をかけると、下3ケタの部分が 010 に

   なりました。そのような整数のうち、2番目に小さい整数を

   答えなさい。

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解答

 (1)下の図1のように、67の積を3つずつの組に分けると、

     67×1=067、67×4=268、67×7=469

     67×2=134、67×5=335、67×8=536

     67×3=201、67×6=402、67×9=603

となっていて、

 Pic_3522a

百の位は、2ずつ、十の位と一の位でできる数は、1ずつ増える

ということがわかります。

 

67×11は、2番目の組で、536の次なので、

  百の位は、5+2=7、

  十の位と一の位でできる数は、36+1=37

となり、737 になることがわかります。

 

 (2)図1の性質から、

下2ケタが 67 のとき、百の位 : 0

下2ケタが 68 のとき、百の位 : 2

下2ケタが 69 のとき、百の位 : 4

 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

下2ケタが 74 のとき、百の位 : 14? →  です。

 

 (3)(2)より、下2ケタが 72 のとき、百の位 : 0 です。

表より、このときの計算は、67×16 です。

 

67×17 の下3ケタは、67×2=134 に 72-67=5を加え、

139です。67×18の下3ケタは、67×3=201 に5を加え、

206 です。よって、百の位は、0,1,2 となります。

 

よって、連続する3つの数は、16,17,18 です。

 

 (4)最初に下3ケタが 010 になるのは、67×3=201 の

グループが、201 → 402 → ・・・ → 2010 となります。

 

次になりそうなのが、67×1=067 のグループで、

  067 → 268 → 469 → ・・・ → 6499 →  6700 → 6901

と、百の位が奇数となり、010になりません。

 

では、67×2=134 のグループはどうかというと、

 134 → 335 → 536 → ・・・ → 13199 → 13400

→13601 ・・・ → 15410 となり、010になりません。

 

ここまでで、打開できそうにないので、考え方を変えると、

1番目の 2010=67×30 です。

2番目は、???010 のようになるわけですから、

 これは、2010 + ???000 となることがわかります。

うしろの ???000 も当然 67の倍数なので、

67の倍数で、下3ケタが000になるものを考えると、

67000です。

 

よって、

 2010(67×30)+67000(67×1000)=69010

が、下3ケタが 010 になる2番目の数で、67×1030 とわかり、

求める数は、1030 です。

 

 

 広尾学園中学の過去問題集は → こちら

 広尾学園中学の他の問題は → こちら

 

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