数の性質 第８０問 （中央大学附属横浜中学 受験問題 2010年（平成22年度） 算数）

問題　（中央大学附属横浜中学　受験問題　2010年　算数）

　　　　 難易度★★★

整数 ２０１０ について、次の問に答えなさい。

（１）２ や ３ のように、１ とその数自身以外に約数を持たない

　　 １以外の整数を素数といいます。２０１０ を素数だけの

　　 かけ算で表すと、何個の素数のかけ算になりますか。

（２）２０１０ の約数は全部で何個ありますか。

（３）２０１０ にできるだけ小さい整数をかけて、１７９５６ の

　　 倍数にするには、いくつをかければよいですか。

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解答

　（１）２０１０ を素因数分解すると、

　　　 ２０１０＝２０１×１０＝３×６７×２×５

となるので、４個 の素数のかけ算になります。

　（２）約数の数え方は、以下のようになります。

２０１０ は、２，３，５，６７ の４個のかけ算なので、約数は、

　２（０個）　×　３（０個）　×　５（０個）　×　６７（０個）　＝　１

　２（１個）　×　３（０個）　×　５（０個）　×　６７（０個）　＝　２

　２（０個）　×　３（１個）　×　５（０個）　×　６７（０個）　＝　３

　２（０個）　×　３（０個）　×　５（１個）　×　６７（０個）　＝　５

　２（０個）　×　３（０個）　×　５（０個）　×　６７（１個）　＝　６７

　２（１個）　×　３（１個）　×　５（０個）　×　６７（０個）　＝　６

　２（１個）　×　３（０個）　×　５（１個）　×　６７（０個）　＝　１０

　２（１個）　×　３（０個）　×　５（０個）　×　６７（１個）　＝　１３４

　２（０個）　×　３（１個）　×　５（１個）　×　６７（０個）　＝　１５

　２（０個）　×　３（１個）　×　５（０個）　×　６７（１個）　＝　２０１

　２（０個）　×　３（０個）　×　５（１個）　×　６７（１個）　＝　３３５

　２（１個）　×　３（１個）　×　５（１個）　×　６７（０個）　＝　３０

　２（１個）　×　３（１個）　×　５（０個）　×　６７（１個）　＝　４０２

　２（１個）　×　３（０個）　×　５（１個）　×　６７（１個）　＝　６７０

　２（０個）　×　３（１個）　×　５（１個）　×　６７（１個）　＝　１００５

　２（１個）　×　３（１個）　×　５（１個）　×　６７（１個）　＝　２０１０

以上の１６個になります。これは、

　２、３，５，６７　・・・　０個 か１個 の２通り

あるので、２×２×２×２＝１６個 として求めることができます。

　（３）１７９５６ を素因数分解すると、

　　１７９５６＝２×８９７８＝２×２×４４８９＝２×２×６７×６７

となります。（２０１０＝２×３×５×６７ なので、

４４８９が６７で割れるかどうか試しましょう）

　１７９５６＝２×２×６７×６７

　２０１０＝２×３×５×６７

なので、２０１０×□　が １７９５６ の倍数になるには、

　２０１０×□　＝　２×３×５×６７×２×６７

となれば、２×２×６７×６７ の倍数になるので、

　□　＝　２×６７　＝　１３４

をかければよいことがわかります。

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