規則性の問題 図形の復元 第４問 （筑波大学附属駒場中学 2007年（平成19年度） 受験問題 算数）

問題　（筑波大学附属駒場中学　2007年　受験問題　算数）

　　　　 難易度★★★☆

正方形の紙に次のような操作を行います。

上の操作を１回と数え、操作を何回か続けて行います。

操作を何回か続けて行ってできた正方形を下の図１のように

ハサミで４つの同じ大きさの正方形に切り離してから、折られて

重なっている紙は全て広げます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）操作を１回行ってからハサミで切り離し、広げると、

　　 どのような紙ができますか。下の図２に元となる正方形が

　　 描かれています。切れ目を線で示しなさい。なお、正方形

　　 の各辺は４等分されています。

　　　　　　　　　　

（２）操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると

　　 面積の異なる紙が何枚かずつできますが、そのうち一番

　　 大きい紙が１０００枚以上ありました。操作を行った回数

　　 として考えられる最も小さい数を答えなさい。

（３）操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると

　　 一番大きい紙が１００００枚以上ありました。このとき２番目に

　　 大きい紙は何枚できていますか。考えられる枚数のうち、

　　 最も小さい数を答えなさい。

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解答

　（１）図１の状態から、最初の状態へ戻すと、下の図３のように

なります。

　　

よって、図２の正方形に切れ目を線で描くと、下の図４のように

なります。

　　　　　　　　　

　（２）１回の操作では、よくわからないので、何回か操作した場合

を試しに復元してみましょう。

　 ２回の操作をしたとすると、（１）と同様に元の正方形に

戻してみると、図４の状態から、さらに広げればよく、下の図５

のようになります。

　

まん中に同じ大きさの正方形（黄色い部分）が９個 （３×３）

できました。

３回操作をしたと考えると、図５の最後の正方形を、

同様に開く作業をします。すると、

黄色い９個の正方形は４か所に広がり、

　　　９×４＝３６個 の黄色い正方形になり、

青い６（３×２）個の長方形は、それぞれ広がり、（３×２×２）

　　　黄色と同じ大きさの１２個の正方形になり、

赤い１個の正方形は、大きさが×２×２＝４倍になり、

　　　黄色と同じ大きさの１個の正方形になります。

結局、３６＋１２＋１＝４９個 の黄色い正方形ができます。

ここまで調べれば、

　１回の操作・・・１個の１番大きい正方形　（１×１）

　２回の操作・・・９個の１番大きい正方形　（３×３）

　３回の操作・・・４９個の１番大きい正方形　（７×７）

という規則になっていることがわかりますね。

　４回目の操作では、

　　４９×４＋７×２×２＋１＝２２５個 （１５×１５）　

となります。

　１　→　３　→　７　→　１５　→　・・・　と、２，４，８、という順に

数が増えているので、次は、８×２＝１６増えて ３１ です。　

　　　３１×３１＝９６１個 なので、１０００枚より少ないです。

３１の次は、１６×２＝３２増えて、６３で、

　　　６３×６３＝１０００枚より多いです。

よって、１　→　３　→　７　→　１５　→　３１　→　６３ より、

６回目の操作で１０００枚以上となります。

　（３）６３ → １２７ で、１２７×１２７＝１００００枚以上 となります。

（１００×１００＝１００００なので）　よって、行った操作は７回です。

枚数は、操作が増えるたびに増えていくので、最も少ないのは

この７回目の操作のときの枚数となります。

２番目に大きい紙は、図５の青い長方形のことで、７回の操作で

　１２７×４＝５０８枚 できます。

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