平面図形の面積 第９２問 （渋谷教育学園幕張中学 入試問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（渋谷教育学園幕張中学　入試問題　2013年　算数）

　　　　 難易度★★★★

１辺が ６ｍ の正方形の形をしたシートを教室の床の上に

平らに広げ、シートの上に幅 １ｍ の板を ２枚、シートに

垂直になるように立てました。下の図は、このシートを上から

見た図です。

　　　

上の図のように正方形の各頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ として、辺ＡＢ

のまん中の点をＰ，辺ＢＣ 上のＢから １ｍ の点をＱ とします。

Ｐに真一君が立ち、Ｑに和子さんが立って、それぞれシートを

見るとき、次の問に答えなさい。ただし、板の高さは真一君と

和子さんの身長よりも高く、板の厚さは考えません。

（１）真一君が見ることができないシートの部分の面積は何㎡

　　 ですか。

（２）真一君も和子さんも、ともに見ることができないシートの

　　 部分の面積は何㎡ ですか。

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解答

　（１）真一君が見ることができない部分は下の図１の青い部分で

　　　

　（三角形ＤＥＰ－三角形ＰＲＳ）　＋　（三角形ＣＦＰ－三角形ＰＴＵ）

＝（３×３÷２－１×２÷２）　＋　（１×６÷２－１×１÷２）

＝６㎡

です。

　（２）真一君も和子さんも、ともに見ることができない部分は、

下の図２の黄色い部分になります。

　　　

まず、上の黄色い三角形について考えます。下の図３のように、

点ＱからＡＢと平行な線を、点ＰからＡＤと平行な線を引きます。

　　　

図３において、三角形ＱＴＶ、三角形ＱＸＷ、三角形ＱＧＨは相似で、

　　 ＱＶ＝２ｍ、ＴＶ＝１ｍ、ＱＷ＝３ｍ、ＱＨ＝６ｍ なので、

　　 ＸＷ＝１．５ｍ、ＨＧ＝３ｍ です。

よって、ＤＧ＝２ｍ、ＸＰ＝２．５ｍ です。

ＤＧ と ＸＰ が平行なので、三角形ＤＧＹ と三角形ＰＸＹ は相似で、

　　 　 ＤＧ　：　ＸＰ　＝　２　：　２．５　＝　４　：　５

より、 三角形ＤＧＹ を底辺をＤＧ としたときの高さは、ＡＰ を

４：５にわけて、４/３ｍ です。

ゆえに、三角形ＤＧＹ の面積は、２×４/３÷２＝４/３㎡ です。

次に、図２の下の黄色い三角形について考えます。

下の図４のように、Ｓ からＨＱに垂線を下ろし、交点をＺ とすると、

点Ｚ は ＥＰ上にあることがわかります。

　　　

三角形ＱＳＺ と三角形ＱＩＨ は相似で、ＱＺ＝４ｍ、ＱＨ＝６ｍ、

ＳＺ＝１ｍ なので、ＨＩ＝１．５ｍ とわかります。

よって、Ｅ Ｉ ＝０．５ｍ で、Ｅ Ｉ ：ＳＺ＝１：２ より、

三角形ＪＳＺ は、ＳＺ を底辺としたときの高さが、ＨＺ の２/３ で

４/３ｍ となります。

ゆえに、求める三角形ＪＳＲの面積は、三角形ＪＳＺ から

三角形ＳＲＺを除けばよく、

　 １×４/３÷２　－　１×１÷２　＝　１/６㎡

とわかります。

よって、真一君も和子さんも、ともに見ることができないシートの

部分の面積は、

　 三角形ＤＧＹ　＋　三角形ＪＳＲ　＝ ４/３ ＋ １/６ ＝ １．５㎡

です。

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