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2013年7月18日 (木)

点の移動 第41問 (女子学院中学 受験問題 2009年(平成21年度) 算数)

 

問題 (女子学院中学 受験問題 2009年 算数)

     難易度★★★

 

下の図は、長方形ABCD と直角三角形DCE を組み合わせた

図形です。点アは、頂点A を出発して毎秒2cm の速さで辺AD

を往復します。点イは、頂点B を出発して毎秒3cm の速さで

辺BE を往復します。点ア、点イは同時に出発し、点ア と点イ

を結んでできる直線を、直線アイ と呼ぶことにします。このとき

次の問に答えなさい。

   Pic_3515q

(1)直線アイ が辺AB と初めて平行になるのは、出発してから

   何秒後ですか。ただし、直線アイ と辺AB がぴったり重なる

   場合は除きます。

(2)直線アイが四角形ABED を1つの三角形 と 1つの四角形

   に分けるのは、出発してから2分後までに何回ありますか。

(3)長方形ABCD の対角線AC と対角線BD が交わる点をF

   とします。直線アイ が点F を1回目に通るのと、2回目に

   通るのは、それぞれ出発してから何秒後ですか。

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解答

 (1)点イの方が速く、点E に着くのは、24÷3=8秒後です。

8秒後の点アの位置は、2×8=16cm のところなので、

8秒後は下の図1のようになっています。

   Pic_3516a

点アから頂点D まで4cm、点イ から C まで4cm なので、

直線アイ が辺AB と平行になるのは、図1の状態から

   (4+4)÷(2+3)=1.6秒後

です。(1.6秒後、まだ点ア は頂点D に着いていない)

 

よって、初めて直線アイ が辺AB と平行になるのは、

   8+1.6=9.6秒後

とわかります。

 

 

 (2)直線アイが四角形ABED を1つの三角形 と 1つの四角形

に分けるのは、図1のようなときで、点ア、点イのどちらか一方

四角形ABED の頂点にいるときです。

 

点アは、20÷2=10秒ごと、点イは、24÷3=8秒ごとに

頂点に着きます。120秒までには、点アは、120÷10=12回、

点イは、120÷8=15回 頂点に着きますが、このうち、

10 と 8 の公倍数の、40秒、80秒、120秒のときは、

2つの点の両方が頂点にいるので、三角形と四角形に分ける

ことはできません。

 

よって、点アは、12-3=9回、点イは、15-3=12回、

単独で頂点に着くので、三角形と四角形に分ける回数は、

出発してから 2分後までに、9+12=21回 あります。

 

 

 (3)直線アイ が点F を通るのは、直線アイ のまん中の点ウ の

動きを調べればわかります。(点F がまん中の点なので)

 

図1のとき、下の図2のように、点ウはちょうど辺CD のまん中に

移動してきているので、

   Pic_3517a

8秒で、20cm移動したことがわかります。

点F は、辺AB から10cm の位置なので、1回目に直線アイ が

点F を通るのは、8÷2=4秒後 とわかります。

 

次に、点アが頂点D に着く10秒後、点イは、3×10=30cm

移動しており、点C から2cmのところにいます。

 

点イが頂点B に戻るのが、16秒後で、そのとき点アは、

2×16=32 より、頂点A から8cmのところにいます。

点ウは、辺AB から 8÷2=4cm のところです。

 

下の図3のように移動することがわかり、

   Pic_3518a

点ウ は、6秒で15cm 移動するので、9cm移動するには、

      6×9/15=3.6秒

かかります。

 

よって、2回目に直線アイ が点F を通るのは、

      10+3.6=13.6秒後

です。

 

 

 奈良学園中学の過去問題集は → こちら

 女子学院中学の他の問題は → こちら

 

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