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2013年6月18日 (火)

有名な四面体 第8問 (芝中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (芝中学 入試問題 2013年 算数) 難易度★★★

 

下の図は、1辺が12cmの立方体で、点P,Q はそれぞれ

辺AD,CD のまん中の点です。

       Pic_3477q

(1)3点 E,P,Q を通る平面で この立方体を2つの立体に

   分けたとき、頂点D を含む立体の体積を求めなさい。

(2)三角すい H-PQD の表面積を求めなさい。

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解答

 (1)3点E,P,Q を通る平面は、下の図1のように、点E から

PQ と平行な線を引くと、頂点G に達するので、

       Pic_3478a

台形EPQG の形になります。EP,HD,GQ の3つの線分を

伸ばすと、下の図2のように1点 R で交わるので、

       Pic_3479a

求める体積は、三角すい台DPQ-HEG となり、

三角すいR-DPQ とR-HEG の相似比が 1 : 2 なので、

その体積比は、1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 より、

三角すい台DPQ-HEG の体積は、三角すいR-DPQ の7倍で、

  6×6÷2×12÷3×7=504c㎥

となります。

 

 (2)三角すいH-PQD は有名な三角すいです。

知識として知っているか知らないかで、解けるか解けないかが

大きく左右されることでしょう。

 

三角すいH-PQD の4つの面について、特に三角形HPQ に

ついて下の図3を利用して考えると、HP=HQ=BP=BQ で

長さが等しいので、三角形HPQ と三角形BPQ は合同です。

三角形HDP は三角形BAP と、三角形HDQ は三角形BCQ と

それぞれ合同なので、

       Pic_3480a

三角すいH-PQD の4つの面を並べる(展開図を作る)と、

上の図4の正方形の形になることがいえます。

  

よって、三角すいH-PQD の表面積は、12×12=144c㎡

と求められます。

 

 

 芝中学の過去問題集は → こちら

 芝中学の他の問題は → こちら

 

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