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2013年6月21日 (金)

立体図形の切り口 第54問 (城北中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (城北中学 受験問題 2013年 算数) 難易度★★★★

 

下の図は、1辺が 6cm の立方体で、点P,Q,R,S はそれぞれ

辺AB,BC,CD,DA のまん中の点です。このとき、次の問に

答えなさい。

       Pic_3481q

(1)3点P,F,H を通る平面でこの立方体を切ったとき、点A

   を含む方の立体の体積を求めなさい。

(2)三角すい PQHF の体積を求めなさい。

(3)三角すい PQHF と三角すい SRHF の共通部分の体積と

   三角すい PQHF の体積の比を簡単な整数の比で答えなさい。

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解答

 (1)3点P,F,H を通る平面は、点P から FH と平行な線を

引くと、点S を通ることがわかります。下の図1のように、

FP,EA,HS を伸ばすと、3本の線は1点T で交わります。

       Pic_3482a

求める体積は、三角すい台 APS-EFH となり、

三角すいT-APS : T-EFH の相似比 = 2 : 1 なので、

体積比は、2×2×2 : 1×1×1 = 8 : 1 と求められ、

三角すい台 APS-EFH の体積は、三角すいT-APS の7倍で、

  3×3÷2×6÷3×7=63c㎥

です。

 

 (2)立方体から、三角すい PQHF 以外の部分を除きます。

除く部分は、三角すい F-BPQ と、3点F,Q,H が通る平面が

点Q からFH と平行に線を引くと点R に結べることから、

下の図2 の三角すい台CQR-GFH 、反対側の三角すい台

APS-EFH、五角すいH-PQRDS になります。

       Pic_3483a

三角すい台CQR-GFH 、APS-EFH の体積は (1)より

それぞれ 63c㎥ で、三角すいF-BPQ の体積は、(1)より

三角すい台APS-EFH の体積の 1/7 なので、9c㎥ です。

 

五角すいH-PQRDS の体積は、五角形PQRDS の面積が

   6×6 - 3×3÷2×3個 = 45/2(c㎡)

なので、体積は、

   45/2 × 6 ÷ 3 = 45(c㎥)

となります。

 

よって、三角すいPQHFの体積は、

   6×6×6 - ( 9 + 63×2 + 45 ) 

= 216 - 180

= 36c㎥

と求められます。

 

 (3)4点F,Q,R,H が同じ平面上にあり、4点F,P,S,H が

同じ平面上にあるので、FR とQHの交点をM,FS とPH の交点

をN とすると、三角すい PQHF と三角すい SRHF の共通部分

は、三角すい MNHF となります。

 

三角形CQR と三角形 GFH が相似で、相似比が 1 : 2 より、

QR : FH = 1 : 2 です。

 

下の図3のように、三角形MQR と三角形MHF が相似で、

QR : FH = 1 : 2 なので、QM : MH = 1 : 2

とわかります。

     Pic_3484a

同様に、反対側の PN : NH = 1 : 2 なので、下の図4

のように、三角形PQH を表すことができ、

     Pic_3485a

PQ : NM = 3 : 2 とわかります。

 

求めるのは、三角すいMNHF と 三角すいPQHF の体積比です。

2つの三角すいは、頂点をF と考え、底面を三角形MNH,PQH

と考えることができます。

 

三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 なので、2つの三角すいの

体積比は、底面積の比になります(高さが同じなので)

 

三角形MNH と三角形PQH は、相似比が 2 : 3 なので、

面積比は、2×2 : 3×3 = 4 : 9 です。

 

よって、求める体積の比は、4 : 9 ということになります。

 

 

 城北中学の過去問題集は → こちら

 城北中学の他の問題は → こちら

 

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