平面図形の長さ 第２９問 角の二等分線の定理 （浅野中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（浅野中学　受験問題　2013年　算数）　難易度★★★☆

下の図１のような三角形ＡＢＣ があります。角Ａ の二等分線と

辺ＢＣ との交点をＤ とし、また、頂点Ｃ を通り ＡＤ に平行な

直線を引き、この直線が辺ＢＡ の延長と交わる点を Ｅ とします。

このとき、次の問に答なさい。

　　

（１）（ＢＤの長さ）：（ＤＣの長さ）を最も簡単な整数の比で

　　 表しなさい。

（２）下の図２のように ＡＤ 上に点Ｆ を角ＡＢＦ と角ＤＢＦ の

　　 大きさが等しくなるようにとります。

　　

　　 （ＤＦ の長さ）：（ＦＡ の長さ）を最も簡単な整数の比で

　　 表しなさい。

（３）（三角形ＡＢＦ の面積）　：　（三角形ＢＣＦの面積）　：　（三角形

　　　ＣＡＦの面積）を最も簡単な整数の比で表しなさい。

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解答

　（１）角の二等分線の定理（こちら参照）より、

ＢＤ　：　ＣＤ　＝　ＡＢ　：　ＡＣ　＝　５　：　４　です。

＜別解＞

　 ＡＤ と ＥＣ が平行なので、角ＢＡＤ ＝ 角ＢＥＣ （同位角）、

角ＤＡＣ＝角ＡＣＥ （錯角）で、三角形ＡＢＤ と三角形ＥＢＣ は

相似です。

また、角ＢＥＣ＝角ＥＣＡ より、三角形ＡＣＥ は二等辺三角形で、

ＡＣ＝ＡＥ＝４ｃｍ とわかります。

よって、ＢＤ ： ＣＤ ＝ ＢＡ ： ＡＥ ＝ ５ ： ４ です。

　（２）（１）と同様に、角の二等分線の定理より、

ＤＦ　：　ＡＦ　＝　ＢＤ　：　ＢＡ　＝　３５/９　：　５　＝　７　：　９

です。

＜別解＞

　下の図３のように、点Ｄ から、ＦＢ と平行な線を引き、辺ＡＢ の

延長との交点を Ｇ とすると、

角Ｇ＝角ＡＢＦ（同位角）、角ＦＢＤ＝角ＢＤＧ（錯角）となり、

三角形ＢＧＤ は二等辺三角形 とわかり、

　 ＢＤ＝ ＢＧ ＝ ３５/９（ｃｍ）

となります。

次に、三角形ＡＢＦ と三角形ＡＧＤ が相似なので、

　 ＡＦ　：　ＦＤ　＝　ＡＢ　：　ＢＧ　＝　５　：　３５/９　＝　９　：　７

とわかり、ＤＦ　：　ＦＡ　＝　７　：　９　です。

　（３）ＡＦ　：　ＦＤ　＝　９　：　７　、ＢＤ　：　ＣＤ　＝　５　：　４

なので、比をそろえると、下の図４のように面積比を作ることが

できます。

　　

さらに、ＢＤ　：　ＤＣ　＝　５　：　４　なので、三角形ＣＤＦの面積が

下の図５のように、２８ と表すことができ、

　　

（三角形ＡＢＦ の面積）　：　（三角形ＢＣＦの面積）　：　（三角形

ＣＡＦの面積）　＝　４５　：　６３　：　３６　＝　５　：　７　：　４　

となります。

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