数の性質 第７５問 （学習院中等科 入試問題 2011年（平成23年度） 算数）

問題　（学習院中等科　入試問題　2011年　算数）　

　　　　 難易度★★★☆

１から５０までの数字が１つずつ書いてある５０枚のカードが

あります。これらのカードが上から１，２，３，・・・，４８，４９，５０

と小さい順になるように積んであります。この中から連続した

１３枚のカードを取り出します。このとき、次の問に答えなさい。

（１）取り出した一番上のカードの数が一番下のカードの数を

　　 割り切るようなカードの取り出し方は何通りありますか。

（２）１１で割り切れる数のカードが２枚ふくまれ、さらに、

　　 取り出したカードの数の和が９で割り切れました。このとき

　　 この和を求めなさい。

（３）カードを取り出した後、次のカードから３枚とばして、さらに

　　 連続した１３枚のカードを取り出しました。この取り出した２６枚

　　 のカードの数の和が１７で割り切れるとき、取り出した２６枚の

　　 カードの中で一番下のカードの数として考えられるものをすべて

　　 答えなさい。

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解答

　（１）取り出した一番上のカードの数が一番下のカードの数を

割り切る場合を考えます。上の数が小さく、下の数は大きいです。

一番上と一番下のカードの数の差は、１３－１＝１２です。

よって、一番上のカード（割る方）は、１２の約数である必要が

あります。１２の約数は、１，２，３，４，６，１２ の６個です。

このように見当をつけて、実際に調べてみると、

一番上が、１のとき、一番下は、１３です。　→　割り切れる

一番上が、２のとき、一番下は、１４です。　→　割り切れる

一番上が、３のとき、一番下は、１５です。　→　割り切れる

一番上が、４のとき、一番下は、１６です。　→　割り切れる

一番上が、５のとき、一番下は、１７です。　→　割り切れない

一番上が、６のとき、一番下は、１８です。　→　割り切れる

一番上が、７のとき、一番下は、１９です。　→　割り切れない

一番上が、８のとき、一番下は、２０です。　→　割り切れない

一番上が、９のとき、一番下は、２１です。　→　割り切れない

一番上が、１０のとき、一番下は、２２です。　→　割り切れない

一番上が、１１のとき、一番下は、２３です。　→　割り切れない

一番上が、１２のとき、一番下は、２４です。　→　割り切れる

一番上が、１３以上のとき、一番下は、２５以上で、

　　　割られる数と割る数の差が１２に対して、割る数は１３以上

となるので、割り切れることはありません。

よって、条件を満たすカードの取り出し方は、６通り です。

　（２）１１の倍数が２枚ふくまれるカードの取り出し方は、

（１１と２２）、（２２と３３）、（３３と４４）を含む取り出し方です。

これらの１１の倍数をふくめて、カードの枚数は１２枚です。

１２枚の和は、

　１１＋１２＋・・・＋２２＝（１１＋２２）×１２÷２＝３３×６　・・・　①

　２２＋２３＋・・・＋３３＝（２２＋３３）×１２÷２＝５５×６　・・・　②

　３３＋３４＋・・・＋４４＝（３３＋４４）×１２÷２＝７７×６　・・・　③

①、②、③の場合について、それぞれ前後の数を足したとき、

９の倍数になるかどうか、です。

　①の場合、１０または２３をたします。

　②の場合、２１または３４をたします。

　③の場合、３４または４５をたします。

３３×６、５５×６、７７×６ は、すべて【３の倍数】です。

９で割り切れるには、これらに足す数も【３の倍数】でなければ

いけないので、②の場合の２１、③の場合の４５のみ検証対象に

なります。

５５×６＋２１＝３５１　→　９の倍数

７７×６＋４５　→　７７×６が９の倍数ではなく、４５が９の倍数より、

　　　　　　　　　　　 この和は ９の倍数にはならない。

よって、このときのカードの和は、３５１ です。

　（３）取り出すカードの様子を考えると、次のようになっています。

　　　　　　　【　　　１３枚　　　】○○○【　　　１３枚　　　】

２９個のセットになっていて、一番上の１から取り出したとすると、

　　　　　　　【１，・・・，１３】１４，１５，１６【１７，・・・，２９】

となります。１から１つずれて、２番目の２から取り出したとすると、

　　　　　　　【２，・・・，１４】１５，１６，１７【１８，・・・，３０】

となり、和は、１３＋１３＝２６増えます。

つまり、１番上の数が１つずれると、和が２６増えるのです。

　１＋２＋・・・＋１３＝（１＋１３）×１３÷２＝９１

　１７＋１８＋・・・＋２９＝（１７＋２９）×１３÷２＝２９９

より、和は、９１＋２９９＝３９０ です。

　３９０÷１７＝２２あまり１６

　３９０＋２６＝４１６、４１６÷１７＝２４あまり８

　４１６＋２６＝４４２、４４２÷１７＝２６あまり０

となるので、条件を満たす一番下のカードの数として、

最も小さい数は、３ です。

カードの選び方は、最も大きい場合で

　　　　　　　【２２，・・・，３４】３５，３６，３７【３８，・・・，５０】

です。

２６ずつ和が増えて、１７の倍数になるのは、

和が２６と１７の公倍数のときで、２６×１７、２６×３４、・・・で、

３の次に条件を満たすのは、３＋１７＝２０ のときです。

さらに次の３＋３４＝３７は、最も大きい場合の ２２ を超えるので

条件を満たす２６枚のカードの中で一番下のカードの数として

考えられるのは、

　一番上が ３ のとき　→　３１

　一番上が ２０ のとき　→　４８

の２通り です。

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