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2013年6月13日 (木)

最短ルート 第10問 (大阪桐蔭中学 入試問題 2006年(平成18年度) 算数)

 

問題 (大阪桐蔭中学 入試問題 2006年 算数) 難易度★★★

 

下の図のような底面の半径が5cmの円すいがあります。

      Pic_3475q

(1)この円すいの表面積を求めなさい。

(2)図のように、底面の円の上の点A から、頂点O と A の

   まん中の点Bまでひもを巻きつけます。ひもの長さが最も

   短くなるようにして、この円すいをOA で切り開いて作った

   展開図の扇形を、このひもが巻きついてできた線で切って

   できる2つの図形のうち、点O を含む方の面積を求めなさい。

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解答

 (1)円すいの展開図の扇形の中心角の大きさ=□ とすると、

     □/360 = 底面の円の半径 / 母線

           = 5/12

なので、扇形の中心角=150度 とわかります。

 

よって、この円すいの表面積は、

 12×12×3.14×5/12 + 5×5×3.14

=(60+25)×3.14=85×3.14

266.9(c㎡)

と求められます。

 

 (2)求める面積は、下の図1の三角形OAB になります。

 Pic_3476a

ここで、扇形の中心角が150°なので、図1のように、点Bから

OA に垂線を下ろし、交点をC とすると、角BOC=30°で、

三角形OBC は正三角形の半分の三角定規の形とわかり、

OB=6cm なので、BC=3cm とわかります。

 

よって、三角形OAB は、底辺OA=12cm、高さBC=3cm で、

面積は、12×3÷2=18c㎡ と求められます。

 

 

 大阪桐蔭中学の過去問題集は → こちら

 大阪桐蔭中学の他の問題は → こちら

 

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