数の性質 第７３問 既約分数 （灘中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（灘中学　受験問題　2013年　算数）　難易度★★★★

分母、分子がともに整数で、これ以上約分できない分数のうち、

０．５より大きく、０．５１より小さいものをすべて考えます。

ただし、ちょうど ０．５ または ０．５１ になる分数は除きます。

この中で、分母が１００以下の分数は何個ありますか。

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解答

　０．５＝５０/１００、０．５１＝５１/１００ なので、

０．５より大きく、０．５１より小さい分数は、下の式１のように

この２つの分数によって、はさまれます。

　　　　　　　　　

分数を□/△としたとき、△が偶数の場合、□＝△÷２のとき、

この分数は０．５になります。０．５より分数を大きくするので、

（△÷２）＋１/△ としますが、△が１００より小さい場合、

この分数は下の式２のように、すべて５１/１００より大きく

なってしまいます。

　　　　　　　　　

例　：　２６/５０ など

よって、考えるのは、△が奇数の場合です。

△が奇数の場合、分数が０．５より大きくなるのは、

下の式３のように、△＝□×２－１のときです。

　　　　　　　　　

例　：　４/７ など。しかし、４÷７＝０．５７・・・ となってしまう。　

では、この分数が、下の式４のように、５１/１００より小さいのは

どんな場合か考えます。

（□は分母が１００を超えない５０以下です。）

　　　　　　　　　

□＝５０÷２＝２５のときで考えると、

　　 □＝２５のとき、２５/４９＝０．５１０２・・・

　　 □＝２６のとき、２６/５１＝０．５０９・・・

となるので、□が２６以上のとき、０．５より大きく、０．５１より小さく

なることがわかり、条件を満たす分数の個数は、

　 　　　　　５０－（２６－１）＝２５個

と求められます。

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