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2013年5月31日 (金)

論理 第38問 (栄光学園中学 入試問題 2013年(平成25年) 算数)

 

問題 (栄光学園中学 入試問題 2013年 算数) 

     難易度★★★★★

 

ミニサッカー大会を次のように行います。

  ・ 大会は勝ち上がりのトーナメント戦で行われます。

   たとえば、8チームが参加する大会の対戦表は

   下の図のようになります。

 Pic_3450q_2

  ・ 1試合にかかる時間は30分で、勝ち上がるチームは

   必ず決まります。

  ・ 前の試合の終了直後に次の試合を開始することが

   できますが勝ったチームは次の試合を行うまでに、

   10分間の休みをとります。

  ・ たとえば、あるコートで1回戦を行っているときに、

   別のコートで2回戦を行うこともできます。

このとき、1回戦から決勝戦まで全試合行うのにかかる時間に

ついて考えます。

 

(1)8チームが参加し、2面のコートで大会を行うとき、

   最短で何時間何分かかりますか。

(2)8チームが参加し、3面のコートで大会を行うとき、

   最短で何時間何分かかりますか。

(3)16チームが参加し、5面のコートで大会を行うとき、

   最短で何時間何分かかりますか。

(4)16チームが参加し、全試合行うのにかかる最短時間が

   5面のコートで行うときと同じになるのは、何面以上何面

   以下のコートで行うときですか。

(5)1024チームが参加する大会で、9時間以内に全試合を

   行う場合、最低でも何面のコートが必要になりますか。

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解答

 (1)2面あるので、2試合を同時に行うことができます。

下の図1のように、1回戦は 30分ずつかかりますが、

Pic_3451a

準決勝の①の試合が30分で行えるのに対して、

準決勝の②の試合は、休みを10分とる必要があり、

40分かかることになります。

 

さらに、決勝戦も休みを10分とる必要があるので、

40分かかることになります。

 

よって、この場合かかる時間は、

 30+30+40+40=140分=2時間20分

となります。

 

 (2)3面ある場合、下の図2のように1回戦の3試合を

同時に行うことができますが、

 Pic_3452a

1回戦の最後の試合が終わらなければ、準決勝の②の試合を

行うことができません。準決勝の②の試合が終わるまでに、

  30分+30分+40分=100分かかり、

決勝戦は休みの10分を含む40分かかるので、

3面の場合も、100+40=140分=2時間20分

かかります。

 

 (3)16チームで5面の場合、下の図3のように、

 Pic_3453a

60分間に、○で囲んだ試合を行うことができます。

2回戦のA,Bの試合を行うには、10分の休みをとる必要があり、

さらに、準決勝の②の試合、決勝戦も10分間の休みをとるので、

かかる時間は、60+40×3=180分=3時間 です。

 

 (4)1回戦が8試合あるので、半分の4面で考えると、

下の図4のように、1回戦は60分かかり、

 Pic_3454a

2回戦、準決勝、決勝戦は、休みを10分とることになり、

5面のときと同様に、30×2+40×3=3時間かかります。

 

3面の場合、下の図5のように

Pic_3455a

2回戦まで休みをとることなく行うことができ、準決勝と決勝戦で

10分の休みが必要で、30×4+40×2=200分かかります。

 

次に、5面より多い場合を考えると、1回戦が8試合なので、

8面で考えると、1回戦だけが30分で終わり、2回戦、準決勝、

決勝戦は 10分の休みをとる必要があるので、

  30+40×3=150分

かかります。

 

7面の場合、1回戦8試合のうち、7試合は30分で終わりますが、

最後の1試合が残っているため、下の図6のように、

Pic_3456a_2

1回戦最後の試合が終わらなければ2回戦以降が進まないので

かかる時間は、30×2+40×3=180分=3時間 です。

 

よって、4面以上7面以下の場合、5面のときと同じ時間が

かかります。

 

 (5)1024=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2(2を10回)

で、9時間=540分 です。

 

このことから、1回戦から10回戦まであることがわかります。

 

(4)の原理から、1回戦は512試合あるので、

511面あると、30×2+40×9=420分=7時間

かかることがわかります。あと、2時間の時間をかけてよいので、

30×6+40×9=540分と考え、下の図7のように、

1回戦を5回に分けて考えてみますが、

 Pic_3457a_2

2回戦は、256試合(512÷2=256)に対して、

1回戦は、512試合÷6=約85 のカタマリ なので、

できません。

 

次に、30×6+40×9=540分 としていたところを

    30×10+40×6=540分 とできるか考えます。

図6の考え方から、40分のカタマリの下はすべて30分の

カタマリなので、40分が6回、30分が10回のトーナメント

として、下の図8を考えます。

 Pic_3458a_3

単純に、1回戦から4回戦までの、

  512+256+128+64=960試合

を10回に分けると、96 なので、96試合ごとにまとめられるか

考えると、

 1回戦 : 512÷96=5あまり32

 1回戦の残り+2回戦=(32+256)÷96=3あまり0

最後に勝った48チーム(24試合分)は10分の休みが必要?

 3回戦=128÷96=1あまり28(24より小さいので、休みなし)

 3回戦の残り+4回戦=(64+28)÷90=1となりますが、

4回戦を終わらせるには、3回戦が終わってなければならない

ので、できません。

 

このことから、4回戦の64試合は、40分かかることになります。

 

40×7+30×□=540分以内 となるので、□=8 となり、

30分を8回、すなわち、下の図9のようにできるかを考えます。

  Pic_3459a

1回戦~3回戦まで、512+256+128=896試合 あり、

単純に、8で割ると、896÷8=112 なので、

112試合ごとにこなすとどうなるか考えます。

 

 1回戦 : 512÷112=4あまり64

 1回戦の残り+2回戦 : (64+256)÷112=2あまり96

 2回戦の残り+3回戦 : (96+128)÷112=2

となり、ちょうど3回戦を終わらせることができ、4回戦からは、

40分ずつかかるので、9時間以内に全試合を終わらせるには

112面のコートが必要ということになります。

(かかる時間は、520分=8時間40分)

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 

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