« 図形の移動 第47問 (筑波大学附属中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数) | トップページ | 数の性質 第74問 (筑波大学附属駒場中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数) »

2013年5月16日 (木)

規則性の問題 数の並び 第61問 (横浜雙葉中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (横浜雙葉中学 入試問題 2012年 算数) 

     難易度★★★★

 

下の図のように、ある規則に従って数が書かれている L字型の

カードがあります。ただし、1枚目だけは L字型ではありません。

Pic_3436q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)カードに書かれている最大の数が 81 のとき、そのカードに

   書かれている数は全部で何個ありますか。

(2)10枚目のカードに書かれている数の和を求めなさい。

(3)カードに書かれている数の和が 19683 となるのは

   何枚目のカードですか。

(4)1から 20 までの整数の和は 210 です。このことを利用して

   1枚目から順に20枚目までのカードに書かれている数を全て

   足したら、いくつになりますか。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

 (1)下の図1で黄色で表した数は、そのカードに書かれている

最大の数で、

Pic_3437a

この数は、□枚目の□×□の数と同じになっています。

 

最大の数が 81 のとき、81=9×9 なので、そのカードは

9枚目ということがわかります。

 

9枚目にある数は、9+9-1=17個 です。

 

 (2)10枚目には、10から、10×10=100 までの数が

書かれていて、その和は、

 (10+20+30+・・・+90)×2 + 100

={(10+90)×9÷2}×2 + 100

1000

と求められます。

 

 (3)カードに書かれている数の和について調べてみましょう。

1枚目 ・・・ 1

2枚目 ・・・ 2+2+4=8

3枚目 ・・・ 3+6+9+6+3=27

4枚目 ・・・ 4+8+12+16+12+8+4=64

5枚目 ・・・ 5+10+15+20+25+20+15+10+5=125

・・・・・

10枚目 ・・・ 1000

 

この和について考えると、□枚目の和=□×□×□ となって

いることがわかります。

 (2×2×2=8、3×3×3=27、4×4×4=64、・・・)

 

よって、19683=□×□×□ になるので、素因数分解します。

     19683 → 1+9+6+8+3=27 

なので、3の倍数(9の倍数)です。

  19683=9×2187=3×3×3×729

       =3×3×3×9×81

       =3×3×3×9×9×9

       =27×27×27

とできるので、カードに書かれている数の和が19683 となるのは

27枚目のカードです。

 

 (4)L字型のカードをすべてつなげると、下の図2のようになり、

  Pic_3438a_2

一番上の黄色いラインは、1から20までの和で、210です。

2番目の青いラインは、黄色いラインの数の2倍になっていて、

3番目の緑のラインは、黄色いラインの数の3倍になっています。

 

このことから、1枚目から20枚目までのカードに書かれている

数の和は、

  210+420+630+・・・+210×20

=(210+4200)×20÷2

44100

と求められます。

 

 

 横浜雙葉中学の過去問題集は → こちら

 横浜雙葉中学の他の問題は → こちら

 

|

« 図形の移動 第47問 (筑波大学附属中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数) | トップページ | 数の性質 第74問 (筑波大学附属駒場中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 規則性の問題 数の並び 第61問 (横浜雙葉中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数):

« 図形の移動 第47問 (筑波大学附属中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数) | トップページ | 数の性質 第74問 (筑波大学附属駒場中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数) »