規則性の問題 ｎ進法 第１２問 （大阪星光学院中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（大阪星光学院中学　受験問題　2013年　算数）

　　　　 難易度★★★

　 １，２，３，１０，１１，１２，１３，２０，２１，２２，２３，・・・

上の整数の列は、０，１，２，３ の４種類の数字を使って

１以上の整数を作り、小さい順に並べたものです。ただし、

同じ数字は何度も使ってよいものとします。このとき、次の

問に答なさい。

（１）６４番目の整数を答えなさい。

（２）２０１３は何番目に出てきますか。

（３）１番目から２５番目までに出てくる整数をすべて足すと

　　 いくらになりますか。

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解答　

　（１）４種類の数を使って整数を表すので、【４進法】です。

【Ｎ進法】で ＸＸＸ番目の数 というのは、下の図１のように

求めることができます。

（ただし、用いる数に０を含み、０が１番目ではない場合）

　　　　

　①　ＸＸＸ　÷　Ｎ　＝　ＸＸ　あまり　Ａ　となる。

　②　ＸＸ　　÷　Ｎ　＝　　Ｘ　あまり　Ｂ　となる。

　③　　Ｘ　　÷　Ｎ　＝　　Ｄ　あまり　Ｃ　となる。

　④　Ｄ　が　Ｎ　より小さい数になったら終わり。

このようにして、【Ｎ進法】で ＸＸＸ番目の数＝ＤＣＢＡ となります。

この問題では、【４進法】で６４番目の数なので、

　６４÷４＝１６　あまり　０

　１６÷４＝４　あまり　０

　４÷４＝１　あまり　０

となり、６４番目の数は、１０００ です。

　（２）Ｎ進法で、ＰＱＲ という数は何番目かは、下の図２のように

求めることができます。（ただし、０は１番目ではないとき）

　　　　　　　

４×４×４×２＋４×４×０＋４×１＋１×３＝１３５番目 です。

　（３）２５番目の数は、

　　　２５÷４＝６あまり１

　　　６÷４＝１あまり２　

なので、１２１ です。

１＋２＋３＋１０＋１１＋１２＋１３＋２０＋２１＋２２＋２３＋・・・＋３３

＋１００＋１０１＋・・・＋１２１

＝６（＝１＋２＋３）＋（１０×４＋６）＋（２０×４＋６）＋（３０×４＋６）

　 ＋１００×１０＋｛　６＋（１０×４＋６）＋２０＋２１｝

＝２４０＋２４＋１０００＋６０＋３３

＝１３５７ となります。

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