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2013年4月12日 (金)

場合の数 並べ方 第69問 (灘中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (灘中学 入試問題 2013年 算数) 難易度★★★★

 

2013 は4個の連続する数字 0,1,2,3 を並べかえてできる

数です。また、4213 も4個の連続する数字 1,2,3,4 を並べ

かえてできる数です。このように、4個の連続する数字を並べ

かえてできる4ケタの数について考えます。

 

(1)3で割り切れるものは全部で何個ありますか。

(2)千の位、百の位、十の位の数を左から順に並べてできる

   3ケタの数を3で割ったときの余りと、一の位の数を 3で

   割ったときの余りが等しいものは全部で何個ありますか。

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解答

 (1)3の倍数かどうかは、各位の数の和が 3 で割り切れるか

どうかで判断できます。

 

4個の連続する数字の和が、3の倍数かどうかについて、

 0,1,2,3 → 1,2,3,4 → 2,3,4,5 → ・・・

と数字をずらすと、全体として【4】ずつ増えており、

1番目の 0,1,2,3 の和が3の倍数なので、

1番目から、4,8,12,16,20,24,28,32,36 ・・・

と和が増えるので、1番目、4番目、7番目の場合が3の倍数

となります。

 

0,1,2,3 の数でできる4ケタの数は、

  3×3×2=18個

3,4,5,6 の数でできる4ケタの数は、

  4×3×2=24個

6,7,8,9 の数でできる4ケタの数も、同様に24個

以上より、3で割り切れるものは、18+24×2=66個 です。

 

 (2)1の位が0のとき、残りの3つの数は、1,2,3で、

共に3で割り切れます。(3×2=6個)

 

1の位が1のとき、残りの3つの数は、0,2,3 または

2,3,4 で、余りは一致しません。

 

1の位が2のとき、残りの3つの数は、0,1,3 または

1,3,4 または 3,4,5 で、1,3,4のとき余りが一致します。

(6個)

 

1の位が3のとき、残りの3つの数は、0,1,2 または

1,2,4 または 2,4,5 または 4,5,6 で、

0,1,2 と 4,5,6 のときに余りが一致します。

(2×2+6=10個)

 

1の位が4のとき、残りの3つの数は、1,2,3(あまり0) または

2,3,5(あまり1) または 3,5,6(あまり2) 

または 5,6,7(あまり0) で、2,3,5 のときに余りが

一致します。(6個)

 

ここまでで、1の位が □ のとき、残りの3つの数は、

あまり0 の場合が2通り、 あまり1と2 の場合がそれぞれ1通り

という規則になっていることがわかります。

(□が□+1になると、それぞれ合計3ずつ増えるので

余りは変わらない)

 

このことから、

 一の位が5(あまり2)のとき、6個

 一の位が6(あまり0)のとき、6×2=12個

 一の位が7(あまり1)のとき、6個

 一の位が8(あまり2)のとき、7,9,0 という並びはないので0個

 一の位が9(あまり0)のとき、6,7,8 のときの 6個

となり、以上のことから条件に合うものは、

 6+6+10+6+6+12+6+6=58個

と求められます。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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