点の移動 第３９問 （豊島岡女子学園中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（豊島岡女子学園中学　受験問題　2013年　算数）

　　　　 難易度★★★★

下の図１のように、１辺が ６０ｃｍの正方形ＡＢＣＤ があり、

対角線ＡＣ とＢＤ の交点を Ｏ とします。また、ＡＯ，ＢＯ，

ＣＯ，ＤＯ のそれぞれのまん中の点をＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ とします。

　　　　　　　　

点Ｐ と点Ｑは頂点Ａを同時に出発し、点Ｐ は辺ＡＢ と辺ＢＣ

の上を通って頂点Ｃ まで進み、点Ｑ は辺ＡＤ の上を通って

頂点Ｄ まで進みます。点Ｐ の速さは毎秒４ｃｍ、点Ｑの速さ

は毎秒２ｃｍです。下の図２のように点Ｐ と点Ｑ を結ぶ

とき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　

（１）直線ＰＱが点Ｅ を通るのは出発してから何秒後ですか。

（２）直線ＰＱが正方形ＥＦＧＨ の面積を２等分するのは

　　 出発してから何秒後ですか。

（３）３つの点 Ａ，Ｐ，Ｑ を結んで三角形ＡＰＱ を作ります。

　　 この三角形ＡＰＱ と正方形ＥＦＧＨ の重なった部分が

　　 下の図３のように、六角形となる場合があります。

　　 重なった部分がはじめて六角形になるのは、出発して

　　 何秒を超えたときですか。

　　　　　　　　

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解答　

　（１）正方形ＥＦＧＨの１辺の長さは、正方形ＡＢＣＤの１辺の

長さの半分で、３０ｃｍです。

Ｐ とＱの移動速度の比が、２ ： １ なので、直線ＰＱが点Ｅ を

通るとき、ＡＰ ： ＡＱ ＝ ２ ： １ となります。

下の図４のように、直線ＰＱ が点Ｅ を通るとき、

　　　　　　　

ＥＭ＝ＥＮ＝１５ｃｍ、三角形ＡＰＱ と三角形ＭＥＱ が相似なので、

ＭＱ＝７．５ｃｍ より、ＡＱ＝２２．５ｃｍ とわかります。

この位置に点Ｑがくるのは、２２．５÷２＝１１．２５秒後 です。

　（２）まず、正方形の面積を２等分する直線がどういう直線か

というと、下の図５の線は、すべて正方形の面積を２等分して

いて、

　　　　　　　　　　

これらの線はすべて、対角線の交点Ｏ を通ります。

よって、直線ＰＱが正方形ＥＦＧＨ の面積を２等分するとき、

そのときの直線ＰＱも点Ｏ を通ります。

点Ｐが頂点Ｂ にきたとき、下の図６のように、直線ＰＱ は

辺ＥＦのまん中の点Ｒ を通ります。

　　　　　　

点Ｐ が頂点Ｃ，点Ｑが頂点Ｄ に移動すると、点ＲはＣＤのまん中の

点Ｓに移動します。この際かかる時間は、６０÷４＝１５秒です。

点Ｒの移動速度は、４５ｃｍを１５秒で移動するので、毎秒３ｃｍで、

ＲＯの長さが１５ｃｍなので、点Ｒが点Ｏに移動するのに

　　 １５÷３＝５秒

かかります。

よって、直線ＰＱが正方形ＥＦＧＨの面積を２等分するのは、

出発してから、１５＋５＝２０秒後 です。

　（３）初めて六角形になるのは、直線ＰＱが点Ｈを過ぎてからです。

直線ＰＱが点Ｈと交わるのは、下の図７のようになっているときで、

　　　　　　

このとき、図７の三角形ＴＱＤ と三角形ＴＨＵ が相似で、

ＱＤ：ＰＣ＝１：２　より、ＴＤ＝ＤＣ＝６０ｃｍ とわかり、

ＨＵ＝ＤＵ＝１５ｃｍ なので、

　　　　ＨＵ　：　ＵＴ　＝　ＱＤ　：　ＤＴ　

　　→　１５　：　１５＋６０　＝　ＱＤ　：　６０　

より、ＱＤ　＝　１２ｃｍ　とわかります。

点Ｑは、頂点Ａから頂点Ｄまで、３０秒かけて移動し、

ＱＤ＝１２ｃｍ移動するのに、１２÷２＝６秒かかるので、

図７の状態になるのは、３０－６＝２４秒後です。

ゆえに、出発して２４秒を超えると六角形ができます。

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