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2013年4月11日 (木)

場合の数 並べ方 第68問 (立教新座中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (立教新座中学 受験問題 2012年 算数) 

     難易度★★★

 

1,2,3,4,5 の数字が書かれている 5枚のカードをよく混ぜて

1枚引き、そのカードを元に戻します。これをくり返し、同じ数字の

カードが出たら終了とし、それまでに出たカードの数字の合計を

得点とします。たとえば、【1】、【2】、【1】の順でカードを引いた

場合、3回で終了し、得点は 4点です。このとき、次の問に答え

なさい。

 

(1)最大何回までカードを引くことができますか。また、最高点は

   何点ですか。

(2)4回で終了したとき、得点が8点になるカードの引き方は

   何通りありますか。

(3)得点が 8点で終了するカードの引き方は何通りありますか。

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解答

 (1)異なる数字のカードが出続けると、

【1】、【2】、【3】、【4】、【5】 と5回カードを引くことができ、

次の6回目のカードを引いて終了となり、最大で6回まで

カードを引くことができます。

 

最高点は、6回目に【5】のカードを引いたときで、

  1+2+3+4+5+5=20点

です。

 

 (2)4回目に引くことができるカードは、

【1】、【2】、【3】の3通りが考えられます。

【4】、【5】は、先に【4】、【5】が出ている必要があるので、

合計8を超えてしまいます。

 

4回目が【3】のとき、

1回目、2回目、3回目のどこかで【3】が出ていて、4回目に【3】と

なりますが、8-(3+3)=2 を残り2回で作ることができません。

 

4回目が【2】のとき、

 8-2×2=4 で、4=1+3 で作ることができるので、

(1,2,3)+【2】 のカードの引き方があり、

(1,2,3)の並び方で 6通り あります。

 

4回目が【1】のとき、

 8-1×2=6 で、6=1+5 ← 【1】が3回出るので不適

 6=2+4 で作ることができ、

(1,2,4)+【1】 のカードの引き方があり、

(1,2,4)の並び方で 6通り あります。

 

よって、4回で終了し、得点が8点になるカードの引き方は

6+6=12通り あります。

 

 (3)5回で終了するときの最少得点=1+2+3+4+1=11点

なので、8点で終了する最大の回数は、(2)の4回です。

 

3回で終了して、得点が8点となる場合の数は、

 (2,3)+3 ← 2通り

 (2,4)+2 ← 2通り

以上の 4通り があります。

 

2回で終了して、得点が8点となる場合の数は、

 4,4 の1通り です。

 

1回で終了することはないので、得点が8点で終了する

カードの引き方は、

 12+4+1=17通り

あります。

 

 

 立教新座中学の過去問題集は → こちら

 立教新座中学の他の問題は → こちら

 

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