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2013年4月23日 (火)

平面図形の長さ 第27問 (洛南高校附属中学 受験問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (洛南高校附属中学 受験問題 2011年 算数)

     難易度★★★

 

下の図のように、面積が16c㎡ の正方形ABCDの各辺上に4点

P,Q,R,S をとります。三角形ABP,三角形CQP,三角形DRQ,

三角形ASR の面積はすべて 2c㎡ で、APとRSの交点をTとします。

このとき、次の問に答えなさい。

        Pic_3402q

(1)ASの長さを求めなさい。

(2)(ATの長さ) : (TPの長さ) を最も簡単な整数の比で

   表しなさい。

(3)(RTの長さ) : (TSの長さ) を最も簡単な整数の比で

   表しなさい。

(4)四角形PQRT の面積を求めなさい。

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解答

 (1)正方形の1辺の長さ=4cm とわかります。

三角形ABP の面積が2c㎡ なので、BP=1cm とわかります。

よって、CP=3(cm) です。

 

三角形CPQ の面積が2c㎡ なので、CQ×3÷2=2 より、

CQ=4/3(cm)です。よって、DQ=8/3(cm)です。

 

三角形DRQ の面積が2c㎡ なので、DR×8/3÷2=2 より、

DR=1.5(cm)です。よって、AR=2.5(cm)です。

 

三角形ARS の面積が2c㎡ なので、AS×2.5÷2=2 より、

AS=8/5=1.6(cm)です。

 

 (2)AT : TP を求めるには、下の図1のように、RS の延長と

CBの延長の交点をUとして、三角形ATR と三角形PTU が相似

であることを利用し、AT:TP=AR:PU から求めます。

 Pic_3403a_2

図1で、UBの長さがわかっていません。UBの長さは、

三角形UBS と三角形RAS が相似であることから、

  UB : AR = BS : AS

なので、

  UB : 2.5 = 2.4 : 1.6 

より、UB=3.75(cm) です。

 

よって、AR : UP = 2.5 : 4.75 = 10 : 19 

なので、AT : TP = 10 : 19 とわかります。

 

 (3)図1の UR における比は、下の図2のようになっており、

 Pic_3404a

比を合わせると、3+2=5 と、19+10=29 の公倍数より

 US=29×3=87、UT=19×5=95、

 RT=10×5=50、SR=2×29=58

となり、ST=95-87=8 で、

 RT : TS = 50 : 8 = 25 : 4

と表せます。

 

 (4)TからARに垂線TVを下ろすと、(3)より、

    TV : AS = 25 : 29

となり、AS=1.6cm より、TV=1.6×25/29 です。

 

四角形PQRT の面積は、正方形ABCD から、

  面積が2c㎡ の三角形ABP,CPQ,DQR と三角形ART

を除けばよく、

 16-(2×3 + 2.5×1.6×25/29÷2)

=16-(6+50/29)=16-224/29=16-7と21/29

8と8/29(c㎡)

と求められます。

 

 

 洛南高校附属中学の過去問題集は → こちら

 洛南高校附属中学の他の問題は → こちら

 

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