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2013年4月22日 (月)

和と差 第35問 過不足算 (筑波大学附属駒場中学 2005年(平成17年度) 受験問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2005年 受験問題 算数)

     難易度★★

 

同窓会に集まった人たちに長いすを用意しました。11人掛けの

長いすを使って全員が順に座ると、最後の長いすにもちょうど

11人が座ります。このとき、次の問に答えなさい。ただし、同窓会

に集まった人数は250人以下です。

 

(1)5人掛けの長いすを使って全員が順に座ると、最後の長いす

   には4人が座ることになりました。同窓会に集まった人数は

   何人ですか。考えられる数をすべて答えなさい。

(2)11人掛けと5人掛けの長いすを、

   11人、5人、5人、11人、5人、5人、11人、5人、5人、・・・

   のように規則的に並べて、全員が順に座っていくと、最後の

   長いすには4人座ることになりました。

   (ア)最後の長いすが11人掛けのとき、同窓会に集まった

     人数は何人ですか。考えられる数をすべて答えなさい。

   (イ)最後の長いすが5人掛けのとき、同窓会に集まった

     人数は何人ですか。考えられる数をすべて答えなさい。

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解答

 (1)同窓会に集まった人数は11の倍数で、5で割ると4あまり、

250人以下ということになります。

 

11の倍数で、5で割ると4あまる数というと、44が考えられます。

11と5の最小公倍数は55なので、250以下では、

4499(44+55)、154(44+55×2)、209(44+55×3)

の4通りが考えられます。

 

 (2)(ア)長いすに座った順に、人数は

11,5,511,5,5,・・・,11,5,5,4 となるので、

同窓会に来た人数は、250人以下で11の倍数で、

11+5+5=21で割って4余る ような人数です。

 

21で割って4余る整数のうち、11の倍数になるのは、

  25 ・・・ ×、46 ・・・ ×、67 ・・・ ×、

  88 ・・・ ○ 

なので、88が考えられます。11と21の最小公倍数は、231より、

次に考えられるのは、88+231=319人 ですが、250人より

多くなってしまうので、答えに適しません。

 

よって、同窓会に集まった人数は、88人 です。

 

 (2)(イ)長いすに座った順に、人数は、

 11,5,511,5,5,・・・,11,5,5,11,4   または

 11,5,511,5,5,・・・,11,5,5,11,5,4

となります。

 

よって、同窓会に集まった人数は、250以下の11の倍数で、

21で割ると15余る、または、21で割ると20余る ような人数

ということになります。

 

 ①21で割ると15余るような11の倍数は、

 21+15=36 ・・・ ×

 42+15=57 ・・・ ×

 63+15=78 ・・・ ×

 84+15=99 ・・・ ○ よって、99人が考えられます。

11と21の最小公倍数が231なので、99+231=330人より、

99人以外は不適です。

 

 ②21で割ると20余るような11の倍数は、

 21+20=41 ・・・ × (33+

 42+20=62 ・・・ × (55+

 63+20=83 ・・・ × (77+

  ・・・ 11の倍数に近づくには・・・

               ○ (33+22×8+=209)

 189+20=209 ・・・ ○ (11×19) 

となるので、209人が当てはまります。

①と同様に、209人の次に考えられる人数が250人以下には

ならないので、209人だけです。

 

よって、最後の長いすが5人掛けのとき、同窓会に集まった人数

として考えられるのは、99人209人 です。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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