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2013年3月29日 (金)

数の性質 第72問 (栄光学園中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (栄光学園中学 受験問題 2013年 算数)

 

2ケタの整数 A があり、これに1ケタの整数 X を足していきます。

X を足すのを6回くり返したところ、1回足すごとに十の位の数が

1つずつ増えていきました。

 

(1)1ケタの整数 X として考えられるものをすべて答えなさい。

(2)2ケタの整数 A として考えられるものをすべて答えなさい。

 

2ケタの整数 B があり、これに1ケタの整数 Y をかけていきます。

Y をかけるのを4回くり返したところ、1回かけるごとにケタが1つ

ずつ増えていきました。

 

(3)1ケタの整数 Y として考えられるものをすべて答えなさい。

(4)2ケタの整数 B として考えられる最も小さいものを答えなさい。

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解答 

 (1)2ケタの整数A の一の位を、最も大きい数 9 とします。

A に X を6回足すので、

 X=9 のとき、54、X=8 のとき、48 、X=7 のとき、42、・・・

のように増えます。

 

X を6回足すと、十の位が1つずつ増えるので、十の位は6増えて、

最小で、19 → 70 (一の位が最小の0は、70)まで、

  70-19=51 増えなければいけません。

これを満たす X は、X= (54)だけです。

 

 (2)X=9 のとき、19 は、19+54=73 になります。

このことから、16+54=70 までは、1回ごとに十の位の数が

1つずつ増えることがわかります。

 

さらに、46+54=100 となり、A=46のとき、十の位の数は

最後に 9 から 0 になり、増えません。

 

よって、条件を満たすAは、

  16,17,18,19,26,27,28,29,36,37,38,39

の12個です。

 

 (3)B として最小のものは 10 なので、10を基準に考えると、

Y=9 のとき、9倍、81倍、729倍、6561倍 となるので、

   10 → 90 → 810 → 7290 → 65610 

となりますが、最初、10 → 90 のところで ケタが増えません。

B=20 とすると、

   20 → 180 → 1620 → 14580 → 131220

となり、これが条件に合う例となります。

((4)のBは、20以下で考えられます)

 

Y=1~8 まで全て調べるわけにもいかないので、目星をつけます。

 

 

ケタが1つずつ増えるということは、下の図1のようになっていく

Pic_3386a

ということなので、Yの条件としては、下の図2のように

Pic_3387a_2

Bが最大(99)のとき、B×Y=100以上、B×Y×Y=1000以上、

B×Y×Y×Y=10000以上、

B×Y×Y×Y×Yが100000(それぞれ最小値)を超えればよいので、

  Y×Y×Y×Y=100000÷99=1010以上

になればよいです。

 

4回かけて、1010以上になるYの値は、

 5×5×5×5=625、6×6×6×6=1296 なので、

Yとして考えられるものは、6,7,8,9 です。

 

 (4)(3)より、Bは20以下です。

B が最小のとき、Yは最大の 9 を用いることになりますね。

 

Y=9 のとき、9倍、81倍、729倍、6561倍 となるので、

B × 6561 = 100000以上 になればよく、

最小のB = 100000 ÷ 6561 = 15.24・・・ 

となるので、最小のB = 16 と求められます。

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 

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