規則性の問題 ｎ進法 第１１問 （海城中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（海城中学　受験問題　2013年　算数）　難易度★★★

０，１，２ の３つの数字のみを使って数を作り、次のように

小さい方から順に並べます。

　１，２，１０，１１，１２，２０，２１，２２，１００，１０１，１０２，・・・

このとき次の問に答えなさい。

（１）１２２番目の数は何ですか。

（２）２２２２ は初めから数えて何番目になりますか。

（３）記号 <＋>　は、

　　　　（ｍ番目の数）<＋>（ｎ番目の数）＝（ｍ＋ｎ番目の数）

　　 の計算を表すこととします。たとえば、４番目の数は１１、

　　 ５番目の数は１２、９番目の数は１００ なので、

　　 １１<＋>１２＝１００　となります。

　　 このとき、次の計算をしなさい。

　　　 （ア）　１１<＋>２２　　　　　　　

　　　 （イ）　（ ２０１２ <＋> ２１０２ ） <＋> ２００２

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解答

　（１）使う数字の数は「３個」です。なので、「３個」でまとめることを

考えます。

１ケタの数：１，２　に、「０」を加えると、「３個」になります。

２ケタの数：１０，１１，１２，２０，２１，２２　に、１ケタの数を

　００，０１，０２ と２ケタと見なすと、３×３＝９個になります。

（下の表１）

　　　　　　　　　　　　

さらに、３ケタの数に、１ケタ、２ケタの数を百の位に「０」を

つけて３ケタと見なすと、下の表２のように

　　　　　　　　　　　　

３×３×３＝２７個　になります。

同じように、４ケタの数までで、３×３×３×３＝８１個　に

なります。（下の表３）

１２２番目の数は、最初の「０」を含めると、１２３番目の数

ということになります。

１２３番目は、１２３－８１＝４２ より、

５ケタに入ってから、４２番目の数です。

４ケタの数は、１列（００００の列、１０００の列、２０００の列） に

２７個の数があるので、４２－２７＝１５ より、

１０００の列に入って１５番目の数で、３ケタの数は、９個ずつ

カタマリになっているので、１５－９＝６ より、その２個目の

カタマリの６番目の数で、表１より、「１２」です。

以上より、１２２番目の数は、１１１１２ です。

（２）「２２２２」は、表３の８１番目にあります。

表３には、「０」の個数が含まれるので、「２２２２」は、８０番目

ということになります。

（３）（ア）表１より、１１＝４番目、２２＝８番目なので、

１２番目の数を求めればよく、表２より、１１０ とわかります。

（３）（イ）表３より、２０１２＝５９番目

　　　　　　　　　　　２１０２＝６５番目

　　　　　　　　　　　２００２＝５６番目

の数なので、求める数は、

　５９＋６５＋５６＝１８０番目

の数です。

「０」を含めると、１８１番目の数を求めればよく、

８１×２＝１６２ なので、５ケタの２０００のカタマリの中の

１８１－１６２＝１９番目の数を求めればよく、表２より、１９番目は

２００なので、求める数は、２０２００ です。

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