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2013年3月 8日 (金)

場合の数 図形の選び方 第17問 (筑波大学附属駒場中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 入試問題 2013年 算数)

     難易度★★★★

 

円の周上にある偶数個の点を、次の 【きまり】 に従って

2つずつ選んで、まっすぐな線で結びます。

 

【きまり】

  ・ 円の周上にあるどの点も、必ず1回だけ選びます。

  ・ 円の中にあるどの線も、交わらないようにします。

 

たとえば、円の周上に ①から④ の4個の点があるとき、

このような線の引き方は、下の図1の 2通り になります。

 Pic_3343q

円の周上に次のように点があるとき、線の引き方は

それぞれ何通りありますか。

 

(1)下の図2のように、①から⑥ の6個の点があるとき。

Pic_3344q

(2)下の図3のように、①から⑧ の8個の点があるとき。

Pic_3345q

(3)下の図4のように、①から⑩ の10個の点があるとき。

Pic_3346q

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解答

 (1)円周上に6個の点があるときの線の引き方は、

下の図5のように、中央に対角線の線 ①-④、②-⑤、③-⑥

を取り、残りの2点ずつを結ぶ線の引き方と、下の図6のように

となりの点を結んでいく 2通り の線の引き方があり、

    Pic_3347a

線の引き方は、3+2=5通り あります。

 

 (2)円周上に8個の点があるときの線の引き方は、

(1)の考え方を利用して、中央に線を引いてみます。

①-⑤ で引くと、左右に3点ずつとなり、線を引けない点が

できてしまうので、下の図7のように、①-④ で引きます。

    Pic_3348a

すると、【A】、【B】の2通りの線の引き方ができます。

 

図7-【A】の線の引き方は、右側の線に注目して回転させると、

   ①-④、②-⑤、③-⑥、④-⑦ 

の 4通り ができます。

 

図7-【B】の線の引き方は、

   ①-④、②-⑤、③-⑥、④-⑦、

   ⑤-⑧、⑥-①、⑦-②、⑧-③

の 8通り ができます。

 

さらに、図6のように、となりの点を結んでいく 2通り の線の

引き方があるので、円周上に 8個の点があるときの線の引き方は

   4+8+2=14通り

あります。

  

 (3)円周上に10個の点があるときの線の引き方は、まず、

下の図8のように対角線①-⑥を引くと、対角線の左右の

部分の線の引き方は 4通り あります。

Pic_3349a

対角線の引き方は、

   ①-⑥、②-⑦、③-⑧、④-⑨、⑤-⑩

の 5通り あるので、この方法での線の引き方は、5×4=20通り

ということがわかります。

 

次に、①-⑤を結ぶと、左右の点の数が奇数となるので、

線を引けない点ができてしまうので、ダメです。

 

次に考えるのは、①-④を結んだ下の図9のような線の引き方で

このとき、⑤-⑩の線を結んだものは図8に含まれるので 除外

します。線の引き方は、下の図9の 3通り あります。

   Pic_3350a_2

図9の【A】は、回転させると【B】になるので、【A】、【B】を

あわせて数えます。数え方に注意して、数えもれがないように

すると、【A】の⑩-①のせまい部分が円周上を周るので、

 ⑩-①、①-②、②-③、・・・、⑨-⑩

10通り があります。

 

次に、図9の【C】の線の引き方も、10通り です。

 

最後に、図6のように、となりの点を次々に結んでいく 2通り

線の引き方があるので、円周上に 10個の点があるときの

線の引き方は、

   20+10+10+2=42通り

と求められます。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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