立体図形の切り口 第５２問 （ラ・サール中学 受験問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（ラ・サール中学　受験問題　2013年　算数）　

　　　　 難易度★★★

下の図のような直方体があります。点Ｍは辺ＡＥ のまん中の

点です。この直方体を、まず３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面で切り、

切ってできる２つの立体のうち、点Ｂ を含む方を取り除きます。

次に、残った立体を点Ｍを通り、底面ＥＦＧＨに平行な平面で

切ります。このとき次の問に答えなさい。ただし、角すいの

体積は、（底面積）×（高さ）÷３ です。

　　

（１）点Ｅ を含む方の立体の体積を求めなさい。

（２）点Ｄ を含む方の立体について、

　　（ア）辺の数と面の数は、それぞれいくつですか。

　　（イ）体積を求めなさい。

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解答

　（１）直方体の切断の様子は、下の図１のようになり、

　　

点Ｅ を含む方の立体は、直方体を半分にした

ＥＦＧＨ－ＭＮＯＰ から、三角すい Ｆ－ＰＱＲ を除いたもので、

ＰＱ＝３ｃｍ、ＰＲ＝５ｍ、ＰＦ＝４ｃｍ より、

　　６×１０×４　－　３×５÷２×４÷３　＝　２３０ｃ㎥

となります。

　（２）（ア）点Ｄ を含む立体は下の図２のようになっており、

　　

辺の本数　：　１３本　、面の数　：　７面　です。

　（２）（イ）図２の立体の体積は、

元の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ　から　

　　　三角すいＦ－ＡＢＣ　と　（１）の立体　

を除けば求めることができ、

　 　６×８×１０　－　（６×１０÷２×８÷３　＋　２３０）

＝　４８０　－　３１０　＝　１７０ｃ㎥

です。

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