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2013年3月 1日 (金)

立体図形の体積比 第8問 (麻布中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (麻布中学 受験問題 2013年 算数) 難易度★★★★★

 

下の図1のような立体を三角すいといい、その体積は、

   底面積 × 高さ ÷ 3 

で求められます。

        Pic_3311q

(1)下の図2において、三角すいABCD、三角すいABQR、

   三角すいPBQR の体積の比をできるだけ簡単な整数の

   比で表しなさい。

 Pic_3312q

(2)下の図3の三角形EFG の形をした紙を使って、2つの

   三角すいを作ります。図4の点線を折り目として、頂点

   E,F,G を一致させるように折って作った三角すいの

   体積を【ア】c㎥、図5のように 4つの三角形に切り離し、

   同じ長さの辺を重ね合わせて作った三角すいの体積を

   【イ】c㎥ とします。【ア】と【イ】の体積の比をできるだけ

   簡単な整数の比で表しなさい。

      Pic_3313q_2

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解答

 (1)三角すいの体積比は、三角形の面積比の求め方を

応用して求めることができます。

 

三角形の面積比について復習しておきましょう。

 

下の図6の三角形LMN と三角形LST の面積比は、

 Pic_3314a_3

三角形LMN : 三角形LST = 6×9 : 3×6

                    = 3 : 1

と求めることができます。(方法1

 

また、三角形LMN と三角形LST の各辺の長さを比べると、

 LSの長さは、LMの1/2、LTの長さは、LNの2/3

なので、三角形LST の面積は、三角形LMNの面積の

 1/2 × 2/3 = 1/3(倍)

ということが求められ、

 三角形LMN と三角形LST の面積比が 3 : 1

とわかります。(方法2

 

方法1方法2 は、面積比を求める三角形に共通した角

(この場合、角L)があるときに用いることができます。

 

この三角形の面積比を求める方法を、三角すいの体積比を

求めることに発展させます。

 

図2で体積比を求める3つの三角すいには、角B(頂点B)が

共通しています。よって、各辺の長さを比べると、

  BP=BAの長さの2/3

  BQ=BCの長さの3/5

  BR=BDの長さの1/2

となっているので、三角すいABCD の体積と比べて、

 三角すいABQRの体積 = 3/5 × 1/2 = 3/10

 三角すいPBQRの体積 = 3/5 × 1/2 × 2/3 = 2/10 

とわかり、

 三角すいABCD、三角すいABQR、三角すいPBQRの体積比

 = 10 : 3 : 2

と求められます。

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 <別解>

 三角すいの体積は、底面積 × 高さ ÷ 3 と求められるので

三角すいABCD、三角すいABQR、三角すいPBQR を比べます。

 

三角すいABCD と 三角すいABQR では、底面積が異なり、

高さは等しいので、この2つの三角すいの体積比は、底面積比に

等しいことがわかります。

 

2つの三角すいの底面積比は、方法1より、

 5×6 : 3×3 = 10 : 3

なので、2つの三角すいの体積比も、10 : 3 です。

 

次に、三角すいABQR と 三角すいPBQR では、底面積は

等しく、高さが異なり、6 : 4 = 3 : 2 なので、体積比も

高さの比と等しく、3 : 2 です。

 

以上のことから、

  三角すいABCD、三角すいABQR、三角すいPBQRの

  体積比 = 10 : 3 : 2 

とわかります。

 

 

 (2)まず、図5の4つの三角形から三角すいの展開図を作ると

下の図7のように、中央の三角形以外を逆にした形となります。

    Pic_3315a_2

図4と図7の各点を下の図8、図9のように H,I,J,X,Y,Z

として、

    Pic_3316a_3

図8、図9の展開図を組み立てて、頂点E,F,G が重なる点を

頂点K とすると、下の図10のように点J と点Z は重なり、

Pic_3317a_2

頂点Kを作る3つの角が等しいので2つの三角すいは

重ねて描くことができます。(図8,9の角E,F,G が等しい)

 

2つの三角すいは、高さが等しいので、その体積比は

底面積の比と等しく、方法1を用いると、下の図11より、

 Pic_3318a

【ア】 : 【イ】=三角形KHI : 三角形KXY

        =   9×11  :  12×8

        =  33 : 32

と求められます。

 

方法2を用いると、三角すいKHIJ と三角すいKXYZ の体積は、

三角すいKJ(Z)HY と比べて、

  三角すいKHIJ は、9/12=3/4(倍)

  三角すいKXYZ は、8/11(倍)

とわかるので、2つの三角すいの体積比

  【ア】 : 【イ】 = 3/4 : 8/11 = 33 : 32 

となります。

 

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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