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2013年3月25日 (月)

規則性の問題 数の並び 第59問 (高槻中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (高槻中学 入試問題 2013年 算数) 難易度★★

 

正五角形を下の図1のように1番目、2番目、・・・ と1列に

並べます。次に、ある規則にしたがって各頂点に数を配置

します。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3365q

(1)101番目の正五角形で、下の図2の<ア>の頂点に

   配置されている数を答えなさい。

             Pic_3366q

(2)997 という数は、何番目の正五角形に配置されていますか。

   また、その位置は、下の図3のA,B,C,D,E のうちどこに

   ありますか。記号を答えなさい。

             Pic_3367q

(3)各五角形に配置されている数の平均を考えます。たとえば、

   1番目の正五角形に配置されている数の平均は、

     (1+2+3+4+5)÷5=3 なので、3 になります。

   平均が初めて 2013 以上になるのは何番目の正五角形

   からか答えなさい。

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解答

 (1)五角形には5個の数が配置されているので、着目すべきは

【5の倍数】の位置です。下の図4のように、奇数番目と偶数番目

では、配置場所が異なりますので、

     Pic_3368a

101番目の5の倍数 : 101×5=505 が配置される位置が

わかり、下の図5のようになり、

           Pic_3369a_2

<ア>の頂点には、503 が配置されます。

 

 (2) 997 が属す正五角形は、1000 が配置される五角形で、

1000÷5=200番目 です。

 

200番目は偶数番目なので、下の図6のように配置され、

          Pic_3370a

997 は、 の位置に配置されます。

 

 (3)平均となる数は、1番目では「3」、2番目では「8」、

3番目では「13」、4番目では「18」、・・・、となっていき、

これら【5で割って3余る数】は、配置される5つの数の

【まん中の数】と等しくなっています。

 

2013が平均となるとき、2013は、【5で割って3余る数】

なので、【まん中の数】です。

 

2013が配置される五角形には、

 2011,2012,2013,2014,2015

が配置されていて、

 2015÷5=403番目

の五角形です。

 

 

 高槻中学の過去問題集は → こちら

 高槻中学の他の問題は → こちら

 

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