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2013年2月15日 (金)

論理 第34問 (駒場東邦中学 受験問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (駒場東邦中学 受験問題 2011年 算数) 

     難易度★★★★

 

縦と横の長さが下に示された長方形ア、正方形イ、長方形ウ

があります。いま、A と B を1以上の整数として、これら3つの

四角形の縦を A cm、横を B cm それぞれ短くしたら、面積が

共に S c㎡ の四角形になりました。このとき、A,B,S の値を

求めなさい。

  長方形ア : 縦 5cm 、 横 35cm

  正方形イ : 縦 11cm 、 横 11cm

  長方形ウ : 縦 18cm 、 横 9cm

---------------------------------------------

---------------------------------------------

解答

 長方形ア の縦の長さが 5cm なので、A の値は 1,2,3,4 の

どれかとなります。

 

A=1 のとき、

  長方形ア : 縦 4cm 、 横 35cm 、 面積 140c㎡

  正方形イ : 縦 10cm 、 横 11cm 、 面積 110c㎡

  長方形ウ : 縦 17cm 、 横 9cm 、 面積 153c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 4c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 10c㎡ずつ面積が減る

ので、長方形ア と正方形イ の面積が等しくなることはありません。

よって、A=1 ではないということです。

 

A=2 のとき、

  長方形ア : 縦 3cm 、 横 35cm 、 面積 105c㎡

  正方形イ : 縦 9cm 、 横 11cm 、 面積 99c㎡

  長方形ウ : 縦 16cm 、 横 9cm 、 面積 144c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 3c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 9c㎡ずつ面積が減る

ので、A=1のときと同様に、長方形ア と正方形イ の面積が等しく

なることはありません。よって、A=2 ではないということです。

 

A=3 のとき、

  長方形ア : 縦 2cm 、 横 35cm 、 面積 70c㎡

  正方形イ : 縦 8cm 、 横 11cm 、 面積 88c㎡

  長方形ウ : 縦 15cm 、 横 9cm 、 面積 135c㎡ 

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 2c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 8c㎡ずつ面積が減る

  長方形ウ → 15c㎡ずつ面積が減る

ので、アとイの面積は、3cm減らしたとき等しくなりますが、

そのとき、ウの面積は90c㎡ なので、3つの面積が等しく

なりません。よって、A=3 でもないということです。

 

A=4 のとき、

  長方形ア : 縦 1cm 、 横 35cm 、 面積 35c㎡

  正方形イ : 縦 7cm 、 横 11cm 、 面積 77c㎡

  長方形ウ : 縦 14cm 、 横 9cm 、 面積 126c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 1c㎡ ずつ面積が減る

  正方形イ → 7c㎡ ずつ面積が減る

  長方形ウ → 14c㎡ ずつ面積が減る

ので、横の長さを 7cm 減らしたとき、3つの四角形の面積は

共に等しくなり、28c㎡ となります。

 

よって、A=4cm,B=7cm、S=28c㎡ です。

 

 

 駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

 駒場東邦中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

数年前に、何回かコメントさせていただいた者です。長寿ブログですね。素晴らしいです。
我が家の中学入試も今年終了しました。
息子と過去問の学習をした中で、この問題は解法がいくつかあり、良い問題と思います。
こちらの解答例ように、解答が整数になる条件を生かして条件整理して当てはまる数を探すのがおそらく中学受験算数としては王道と思います。

また、中学生以上の数学を学習するとこれは完全に数式だけで解くと思います。
(5-A)×(35-B)=S
(11-A)x(11-B)=S
(18-A)x(9-B)=S
展開するとAxBが含まれる3つの式になりますが、それぞれの二つの式の差を出すと、AxBとSは消えてしまいますので、AとBの2変数の2式になり、連立方程式としてとくことができます。

さらに、図形的に考えると、3つの長方形は上からAセンチ、左からBセンチの線で4つの長方形に分割されます。分割された4個の四角形のうち一つはAxBの長方形、また、一つの四角形の面積はSになります。すると、3つの4角形の面積の差は4つに分割された4角形の二つの部分だけが問題になります。
たとえば、5x35の長方形と11x11の正方形の差は
{(5-A)*35+(35-B)*5}-{(11-A)*11+(11-B)*11}
で表せるので、連立方程式に持ち込めます。
図を描かないと説明が分かりずらいのですが、3つの長方形でのSの部分やAxBの共通部分を図形的にに理解して、さらに面積の「差」に注目すれば解答に持ち込むことができます。

場合分けが苦手でも、図形から解いたり、逆に図形が苦手でも、場合分けや代数処理、さらに最終手段の「当てはめ」でも解答にたどり着けそうな良い問題と思います。

投稿: こんにちは | 2013年2月20日 (水) 10時32分

こんにちは様、コメントありがとうございます。
 
返信おそくなり申し訳ございません。
 
早速ですが、中学受験を終えられたとのことで、
お疲れ様でした。
以前も当サイトにお越しいただいたそうで
ありがとうございます。少しでもお役に
立てていれば幸いでございます。
 
この問題、連立方程式が使える中学生でも
チャレンジしてほしい問題です。
 
小学生向きの解法を紹介している関係で
当てはめの解き方を記載いたしましたが、
ぜひ様々な解法を見つけていただければと
思います。
 
これからも思い出した頃に当サイトに
お越しいただければうれしいです。

投稿: 桜組 | 2013年3月26日 (火) 17時47分

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