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2013年2月 8日 (金)

速さ 第45問 通過算と比 (洛星中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (洛星中学 入試問題 2013年 算数) 難易度★★★★

 

貨物列車と、12両からなる急行列車があり、この2つの列車は

すれ違うのに 7秒かかり、急行列車が貨物列車を追い抜くのに

77秒かかります。また、鉄橋を渡り始めてから渡りきるまでに

貨物列車は 39秒かかり、急行列車は 29秒かかります。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)貨物列車と急行列車の速さの比を求めなさい。

(2)貨物列車と急行列車の長さの比を求めなさい。

 

ある日、急行列車の1両分の長さのバスが、線路と平行な

道路を秒速 14m で走っていたところ、

  【貨物列車とバスがすれ違うのにかかる時間】 と

  【同じ方向に進む急行列車とバスの先頭が並んでから

  最後尾が並ぶまでにかかる時間】 が同じになりました。

 

(3)急行列車の速さは秒速何mですか。

(4)鉄橋の長さは何mですか。

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解答

 (1)貨物列車の長さを □ 、貨物列車の速さを ○

    急行列車の長さを ■ 、急行列車の速さを ●

    鉄橋の長さを △ とします。

 

2つの列車がすれ違うのに 7秒かかるので、

  ( □+■ ) ÷ ( ●+○ ) = 7秒 ・・・ 【 ア 】

急行列車が貨物列車を追い抜くのに77秒かかるので、

  ( □+■ ) ÷ ( ●-○ ) = 77秒 ・・・ 【 イ 】

 

【 ア 】の式から、

 □+■ = 7×(○+●)

【 イ 】の式から、

 □+■ = 77×(●-○)

となるので、

 7×(○+●)=77×(●-○) → ○+●=11×(●-○)

足したものが、差の11倍なので、下の図1より、

  Pic_3273a

 ● : ○ = 6 : 5

なので、貨物列車の速さ : 急行列車の速さ = 5 : 6 です。

 

 

 (2)鉄橋を渡る場合の式は、

貨物列車が鉄橋を渡るのに39秒かかるので、

  ( □+△ ) ÷ ⑤ = 39秒 ・・・ 【 ウ 】

急行列車が鉄橋を渡るのに29秒かかるので、

  ( ■+△ ) ÷ ⑥ = 29秒 ・・・ 【 エ 】

となります。

 

 □+△ = <195>

 ■+△ = <174>

とできるので、□-■=<21>です。

 

また、式【 イ 】より、■+□=<77>です。

 

よって、下の図2より、

      Pic_3274a

■=<28>、□=<49> とわかるので、

   貨物列車の長さ : 急行列車の長さ = 7 : 4 です。 

 

 

 (3)急行は12両、バスは1両の長さなので、(2)より、

  貨物列車の長さ : 急行列車の長さ : バスの長さ 

= 21 : 12 : 1 

となります。

 

貨物列車とバスがすれ違うのにかかる時間は、

 ( <21>+<1> ) ÷ ( ⑤ + 14 )

 

急行列車とバスの先頭が並んでから最後尾が並ぶまでに

かかる時間は、下の図3より、

 Pic_3275a

急行は11両分進めばよいので、<11>÷(⑥ - 14)

 

よって、<22> ÷ (⑤+14) = <11> ÷ (⑥-14)

  右辺も<22>に合わせると、 = <22> ÷ (⑫-28)

と表せるので、

 ⑤ + 14 = ⑫ - 28 

より、

 ⑦ = 42m/秒 → ① = 6m/秒

とわかり、急行列車の速さ=⑥=秒速36m と求められます。

なお、貨物列車の速さ=⑤=秒速30m です。 

 

 

 (4)式【 ア 】より、□+■=7×(36+30)=462m

(2)より、□ : ■ = 7 : 4 なので、 

   □=462÷11×7=294m

   ■=462-294=168m

です。

 

式【 ウ 】より、 ( □+△ ) ÷ ⑤ = 39秒 なので、

  ( 294 + △ ) ÷ 30 = 39 

より、

  鉄橋の長さ△=39×30-294=876m

と求められます。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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