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2013年2月22日 (金)

積み木の問題 第29問 (東大寺学園中学 入試問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 入試問題 2013年 算数) 

     難易度★★★★★★

 

赤色、青色、黄色の3種類の粘土を用いて、下の図1の立体ア、

イ、ウをたくさん作りました。

Pic_3319q

立体ア : 赤色粘土で作る。

       三角形PQR,OPQ,OQR,ORP を面とする立体で、

       OP,OQ,OR はどの2つも垂直で、OP=OQ=OR

立体イ : 4つの面が、立体アの三角形PQRと合同な正三角形

       である立体

立体ウ : 立体アの三角形PQRと合同な正三角形4つと、

       正方形1つを面とする立体

 

立体アを8個、イを8個、ウを6個すき間なくくっつけて、下の図2の

ように中身のつまった立方体ABCDEFGHを作りました。ただし、

下の図2には、すべての実線、点線が描かれているわけでは

ありません。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3320q

(1)立方体ABCDEFGH を A,E,G を通る平面で切断したときの

   切り口となる長方形AEGC の色分けの様子を、下の図3の例

   のように描きなさい。

         Pic_3321q

(2)図2の正三角形XYZ を1つの面とする青色粘土でできた1つの

   立体イを、A,C,F を通る平面で切断したとき、この青色粘土の

   切り口の面積は、正三角形ACF の面積の何倍ですか。

(3)立方体ABCDEFGH を A,C,F を通る平面で切断したときの

   切り口となる正三角形ACF の色分けの様子を(1)と同様に

   下の図4に描きなさい。

    Pic_3322q

(4)立方体ABCDEFGH を4回切断して4つの三角形ACF,

   三角形ACH,三角形AFH,三角形CFH を面とする

   立体エ を作りました。立体エの中で、青色粘土で作られた

   部分の体積は、立体エの体積の何倍ですか。

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解答

 (1)立方体をA,E,G と通る平面で切断すると、

正方形ABCD と正方形EFGH が同じ色分けになっていることから、

下の図5のように立体アと立体ウがなっていて、

        Pic_3323a

残りの部分が立体イ でできているので、切り口は、

下の図6のようになります。

       Pic_3324a

 

(2)8個の立体イと6個の立体ウの頂点は、1点で合わさり、

その点を O とすると、面XYZ を含む立体イは、下の図7のように

なっています。

Pic_3325a

面XYZ と三角形ACF は平行なので、切り口もこの形になると

わかります。では、立体イのどこで切断されるかが問題です。

 

そこで、三角形ACF と平行な面で、頂点O を通る平面を

考えると、下の図8のように立方体を正六角形に切断する

平面になります。

Pic_3326a

この正六角形の位置から三角形ACFの位置に切り口が移動し、

さらに面XYZまで移動すると平面が重なります。

 

すると、三角形ACF の位置は、正六角形の位置と面XYZの

位置のちょうど真ん中になるので、(AC が正方形を半分にする)

面XYZ 方向から見ると、下の図9のような切り口になります。

         Pic_3327a

切り口の正三角形 : 正三角形XYZ = 1 : 2  の相似比

なので、面積比は、1×1 : 2×2 = 1 : 4 です。

 

また、三角形XYZ : 三角形ACF = 1 : 2 の相似比

なので、面積比は、同様に 1 : 4 です。

 

よって、切り口の正三角形 : 三角形ACF の面積比は、

 1 : 4×4 = 1 : 16 

とわかるので、切り口の面積は、三角形ACF の面積の

1/16 倍です。

 

 

 (3)まず、(2)のことと、立方体の表面の色分けから、

下の図10の色分けがわかります。

 (1つの正三角形が三角形ACF の1/16)

    Pic_3328a

次に、 下の図11のように、(2)の立体イを三角形BDE を含む

平面で切ると、正三角形の切り口ができます。

Pic_3329a

切り口の正三角形の1つの頂点は、(2)の正三角形の1つの

頂点と一致します。

 

これと同様のことが、三角形ACF の面でも起きているので、

切り口の色分けが、下の図12のようになります。

    Pic_3330a

そして、残った部分が立体ウの部分なので、切り口の色分けは

下の図13のようになります。

    Pic_3331a

 

(4)できる立体は、どの面も図13のようになっている、

下の図13の正四面体です。

Pic_3332a

さらに、図6の切り口も、下の図15のようになっています。

         Pic_3333a

立体ACFH と立体イは相似で、相似比は、2:1です。

その体積比は、2×2×2 : 1×1×1 = 8 : 1 です。

 

図14,図15の濃い青の部分の先には、立体イの

高さの半分の部分が入っています。相似比が 1 : 2 の

部分なので、体積比は、同様に 1 : 8 で、

濃い青の部分の先には、立体イの 1/8 が入っていて、

4面あるので、立体イの 1/8 × 4 = 1/2個分です。

 

次に、水色の部分はどうなっているのかというと、

下の図16のように、元の立体イが、3面に切られていて、

Pic_3334a

切り取られた部分の体積は、立体イの 1/8 に当たり、

それが3個あるので、立体ACFH に残っている部分は

立体イの 5/8 になります。 これが、4頂点にそれぞれ

存在するので、立体イの 5/8 × 4 = 5/2 個分です。

 

よって、立体ACFH の中には、立体イ が

   1/2 + 5/2 = 3個分

が入っています。

 

立体ACFH(立体エ) と 立体イ の体積比 = 8 : 1

なので、立体エ の中にある青色粘土(立体イ)で作られた

部分の体積は、立体エ の 3/8倍 ということになります。

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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