平面図形の面積 第８８問 （開成中学 入試問題 2013年（平成25年度） 算数）

問題　（開成中学　入試問題　2013年　算数）　難易度★★

下の図のように、１辺の長さが ２ｃｍ の正方形ＡＢＣＤ があり、

点Ｅ，Ｆはそれぞれ辺ＡＢ，ＢＣ を２等分する点です。直線ＤＦと

直線ＡＦ の交点をＧ，直線ＢＤ と直線ＡＦ の交点をＨ とするとき

次の面積を求めなさい。

　　　　

（１）三角形ＨＢＦ の面積

（２）四角形ＧＥＢＨ の面積

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解答

　（１）三角形ＡＨＤ と三角形ＦＢＨ が相似で、ＡＤ：ＢＦ＝２：１

なので、相似比が ２：１ とわかります。

よって、ＡＨ　：　ＨＦ　＝　ＤＨ　：　ＨＢ　＝　２　：　１　なので、

下の図１のように、各三角形の面積比がわかり、

　　　　

　三角形ＨＢＦ　：　三角形ＨＡＢ　：　三角形ＨＡＤ　＝　１：２：４

です。

　三角形ＡＢＤ の面積　＝　２×２÷２　＝　２ｃ㎡

なので、

　三角形ＨＢＦ の面積　＝　２÷６＝１/３ｃ㎡

と求められます。

　（２）下の図２のように、辺ＡＢと平行に線Ｆ Ｉ を引き、ＤＥ との

交点を Ｊ とします。

　　　　

Ｉ Ｊ の長さは、ＡＥ の長さの半分で、０．５ｃｍです。

次に、三角形ＡＥＧ と三角形ＦＪＧ が相似で、

　　ＡＥ＝１ｃｍ、ＪＦ＝１．５ｃｍ なので、相似比 ＝ ２ ： ３

とわかり、ＡＧ　：　ＧＦ　＝　２　：　３　ということです。

下の図３のような長さの比になり、

　　

比を合わせると、ＡＧ　：　ＧＨ　：　ＨＦ　＝　６　：　４　：　５

となり、下の図４のように、

　　　

各三角形の面積比は、

　三角形ＡＥＧ　：　三角形ＢＥＧ　：　三角形ＢＧＨ　＝　３ ： ３ ： ４

とわかります。

（１）より、三角形ＡＢＨの面積 ＝ １/３ × ２ ＝ ２/３ｃ㎡

なので、四角形ＧＥＢＨの面積 ＝ ２/３ × ７/１０ ＝ ７/１５ｃ㎡

と求められます。

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