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2013年1月24日 (木)

規則性の問題 数の並び 第58問 (灘中学 受験問題 2013年(平成25年度) 算数)

 

問題 (灘中学 受験問題 2013年 算数) 難易度★★★☆

 

 たくさんのマス目に、ある規則に従って 1から400 までの

整数を書き入れていきます。1回目は下の図1のように書き

入れました。それを消して、2回目は下の図2のように書き

入れました。整数が2回とも書き入れられたマス目は全部で

何個ありますか。

 Pic_3263q

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解答

 図1の書き入れ方をすると、400=20×20 なので、

たて20マス、よこ20マスの正方形の範囲に整数を書き

入れることになることがわかります。

 

 図2の書き入れ方をすると、下の図3のように、図2の

一番下の1列は、

        Pic_3264a

 1+2=3

 1+2+3=6

 1+2+3+4=10

 1+2+3+4+5=15 

のように、横に何個まで並んだかが、ここでわかります。

 

つまり、1+2+3+・・・+□=400に最も近い数

となる□を求めます。

 1+2+3+・・・+20=(1+20)×20÷2=210

 1+2+3+・・・+30=(1+30)×30÷2=465

465-(30+29)=406 で、406-28=378なので、

下の図4のようになっています。

Pic_3265a_2

したがって、図1と図2の重なりは下の図5のようになっていて、

  Pic_3266a

最後の数【400】は、図4より、図5の青い部分にあることが

わかります。(青い部分の最後【406】から戻って6番目なので)

 

よって、図1と図2で2回とも整数が書き入れられたマスは

下の図6の紫の部分です。図2の整数の書き入れ方が

直角二等辺三角形の形に書いているので、図6のような

個数になります。

  Pic_3267a

この紫の部分のマス目の数は、正方形から灰色の部分を除いて

  20×20-11×11÷2 ・・・ とやってはいけません。

 

11×11の灰色の直角二等辺三角形の部分にあるマス目は、

  1+2+3+・・・+11=(1+11)×11÷2=66個

なので、2回書き入れられたマス目は、

 400-66=334個

となります。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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