規則性の問題 数の並び 第５７問 （巣鴨中学 入試問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（巣鴨中学　入試問題　2012年　算数）　難易度★★

　ある規則に従って、数が次のように並んでいます。

　　　　１，３，７，１５，３１，６３，・・・

この規則は次の通りです。

　（ア）１番目の数は１です。

　（イ）２番目の数は、１番目の数の１を２倍して１を加えます。

　　　 １×２＋１＝３

　（ウ）３番目の数は、２番目の数の３を２倍して１を加えます。

　　　 ３×２＋１＝７

　（エ）このように、１つ前の数を２倍して１を加えた数を次の数

　　　 とします。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）１０番目の数を答えなさい。

（２）１番目の数と１０番目の数の和の約数の個数は全部で

　　 何個ですか。

（３）１番目の数から１０番目の数までの１０個の数の和を

　　 求めなさい。

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解答

　（１）この数の並びには、規則があります。それを見つけることが

まず第一にすることです。

【規則１】

増える量に注目すると、２，４，８，１６，３２，・・・，と増え、

どんどん２倍になっていることがわかります。このことから、

１０番目の数は、

  １＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＝１０２３

と求められます。

【規則２】

　数自体に注目すると、並んでいる数は、

　　　　２－１、４－１、８－１、１６－１、３２－１、６４－１、・・・、

となっているので、１０番目の数は、

２×２×２×２×２×２×２×２×２×２－１＝１０２４－１＝１０２３

と求められます。

　（２）１番目の数と１０番目の数の和＝１０２４　で、

１０２４を素因数分解すると、２を１０個かけたものになります。

よって、１０２４の約数の個数は、

　１，２，２×２，２×２×２，２×２×２×２，・・・，１０２４

までの １１個 となります。

　（３）地道に足していくと、

　 １＋３＋７＋１５＋３１＋６３＋１２７＋２５５＋５１１＋１０２３

＝５７＋１９０＋７６６＋１０２３

＝１０８０＋９５６

＝２０３６　となります。

【別解】

等比数列の和の求め方を利用した解き方を紹介します。

　　１，３，７，１５，３１，６３，・・・

の数の並びは、

　２－１、４－1､８－１、１６－１、３２－１、６４－１、・・・１０２４－１

となっているので、この和は、

　（２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋・・・＋１０２４）－１０

となります。

　　　２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋・・・＋１０２４＝□　とすると、

□×２＝４＋８＋１６＋３２＋６４＋・・・＋１０２４＋２０４８

となります。下の式から上の式を引き算すると、間が全て消えて

　　　□＝２０４８－２＝２０４６

ということがわかります。

よって、１番目から１０番目までの数の和は、

　　２０４６－１０＝２０３６

と求められます。

小学生が解く場合は、地道に足していった方が速いでしょう。

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