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2013年1月15日 (火)

規則性の問題 操作 第28問 (継子立て) (武蔵中学 入試問題 2011年(平成23年度) 算数)  

 

問題 (武蔵中学 入試問題 2011年 算数) 難易度★★★★

 [ 1 ]、[ 2 ]、[ 3 ]、・・・、[ 176 ] の176枚のカードが、上から

この順になるように重ねてあります。一番上のカードを一番下に

移し、見えたカードを一枚取り除きます。これをカードが最後の

一枚になるまでくり返します。1回目は[ 1 ] を一番下に移し、

[ 2 ] を取り除きます。2回目は[ 3 ] を一番下に移し、[ 4 ] を

取り除きます。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目

   ですか。

(2)100回目に取り除かれるカードに書かれている数を

   答えなさい。

(3)最後の一枚のカードに書かれている数を答えなさい。

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解答

 (1)1回に2枚が移動するので、最後の偶数[ 176 ] が

取り除かれるのは、176÷2=88回目 です。

 

 (2)88回終了した時点で、上から[ 1 ]、[ 3 ]、[ 5 ]、・・・、[ 175 ]

と、88枚の奇数が重ねられている状態になっています。

 

89回目から取り除かれるカードは、[ 3 ]、[ 7 ]、[ 11 ]、の順で、

【4の倍数-1】(または、4で割って3余る数)のカードが

取り除かれます。

 

100回目に取り除かれるカードは、89回目を2周目の1回目と

すると、100回目は2周目の12回目で、12×4-1=[ 47 ] の

カードが取り除かれます。

 

 (3)奇数の最後のカード[ 175 ] は4で割って3余るので、

2周目で取り除かれます。

 

[ 1 ]、[ 5 ]、[ 9 ]、[ 13 ]、・・・、[ 173 ] の4で割って1余る数が

3周目に入り、[ 5 ]、[ 13 ]、[ 21 ]、・・・の順に、8で割って5余る数

が取り除かれていきます。[ 173 ] も8で割って5余るので

[ 1 ]、[ 9 ]、[ 17 ]、[ 25 ]、・・・、[ 169 ] の8で割って1余る数が

4週目に入り、[ 9 ]、[ 25 ]、[ 41 ]、・・・の順に、16で割って9余る数

が取り除かれていきます。[ 169 ] も16で割って9余るので

[ 1 ]、[ 17 ]、[ 33 ]、[ 49 ]、・・・、[ 161 ] の16で割って1余る数が

5周目に入り、[ 17 ]、[ 49 ]、・・・、の順に、32で割って17余る数

が取り除かれていきます。[ 161 ] は32で割って1余るので、

[ 1 ]、[ 33 ]、[ 65 ]、[ 97 ]、[ 129 ]、[ 161 ] が残ります。

 

次に取り除かれるのは、[ 1 ]、[ 65 ]、[ 129 ] で、

[ 33 ]、[ 97 ]、[ 161 ] が残ります。

 

次に取り除かれるのは、[ 33 ]、[ 161 ] で、

最後に残るのは [ 97 ] のカードです。

 

 

 関連問題 継子立て(開成中学 2009年)

 武蔵中学の過去問題集は → こちら

 武蔵中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

5巡目終了時点で、初項1、末項161、公差 32の等差数列の項数 6枚が残りますが、何故次に1が除かれるのでしょう?そもそも1は常に残りのカードの一番上ですから最後に残るのは1ではないですか?

投稿: としちゃん | 2013年4月15日 (月) 20時09分

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