角の二等分線の定理

問題　

　下の図のような三角形ＡＢＣ があり、角Ａ の二等分線と

辺ＢＣ の交点を点Ｄ としたとき、ＢＤ　：　ＣＤ の長さの比を

答えなさい。

　　　

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＜解答１＞

　下の図１のように、頂点Ｃ から、線ＢＤと平行な線を引き、

辺ＢＡの延長との交点を点Ｅ とします。

すると、ＡＤとＣＥが平行なので、角ＣＡＤ＝角ＡＣＥ＝角ＡＥＣ

となり、三角形ＡＣＥ は二等辺三角形ということがわかります。

すなわち、ＡＣ＝ＡＥ です。

ＡＤとＣＥが平行なので、三角形ＢＡＤ と三角形ＢＥＣ が相似

ということになり、ＢＡ ： ＡＥ ＝ ＢＤ ： ＤＣ ＝ １０ ： ７ です。

つまり、角の二等分線によって分けられた底辺は、下の図２

のように、その斜辺の長さの比に分けられる ということです。

　　　

＜解答２＞

　下の図３のように ＡＤ （またはその延長）に頂点Ｂ，Ｃ から

垂線を下ろし、それぞれの交点をＥ，Ｆ とします。

　　　

すると、三角形ＡＢＥ と三角形ＡＣＦ は相似 で、相似比は

　　　　　ＡＢ　：　ＡＣ　＝　１０　：　７　

とわかるので、ＢＥ　：　ＣＦ　＝　１０　：　７　ということです。

次に、三角形ＢＤＥ と三角形ＣＤＦ に注目すると、こちらも

ＢＥ とＣＦ が平行なので相似で、相似比は、

　　　　　ＢＥ　：　ＣＦ　＝　１０　：　７

とわかるので、ＢＤ　：　ＣＤ　＝　１０　：　７　と言えます。