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2012年12月25日 (火)

平面図形の長さ 第19問 (鎌倉学園中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (鎌倉学園中学 入試問題 2012年 算数) 

     難易度★★★★★

 

図のような三角形ABCにおいて、辺ABの長さが6cmで、

角A,角B,角C の大きさがそれぞれ90°、30°、60°

です。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3222q

(1)辺AC と辺BC の長さの比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2)点A から辺BC に垂直な線を下ろし、交点を点Hとします。

   三角形ABHと三角形ACHの面積の比を最も簡単な整数の

   比で表しなさい。

(3)辺BCを半径とする円の面積を求めなさい。

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解答

 (1)三角形ABC は、下の図1のように正三角形BCD の

頂点B から辺CD に垂線を下ろしてできます。

   Pic_3227a

このとき、三角形ABC と三角形ABD が合同になるので、

AC=AD となり、AC の長さは正三角形の1辺の長さの半分

ということがわかります。

 

よって、辺AC の長さ : 辺BC の長さ = 1 : 2 です。

 

 (2)三角形ABHと三角形ACHの面積の比は、辺BHの長さと

辺CHの長さの比に等しくなっています。

 

下の図2のように、角CAH=30°なので、

   Pic_3228a

三角形ABC と三角形HAC は相似です。

 AC : BC = 1 : 2 なので、 CH : AC = 1 : 2

とわかります。

 

よって、CH=① とすると、AC=② 、 BC=④ なので、

BH : CH = ④-① : ① = 3 : 1 とわかり、

三角形ABHと三角形ACHの面積の比は、3 : 1 です。

 

 (3)辺BC を半径とする円の面積を求めるので、

          半径×半径×3.14

の計算になります。辺BC の長さを求めようにも求められません。

 

そこで、半径×半径 を求めます。これには、下の図3のように

      Pic_3229a

三角形ABC を4つ用いて、1辺の長さが辺BC と等しい長さの

正方形を作ります。 すると、この正方形の面積が、半径×半径

と等しくなります。

 

この正方形の中で面積がわかる部分は、下の図4の三角形で、

      Pic_3230a

面積は、6×6÷2=18c㎡ です。

 

下の図5のように、三角形の頂点E から正方形の辺に垂線を

下ろし、交点を点F とすると、

      Pic_3231a

(2)より、点F は正方形の辺を ① : ③ に分けます。

 

ここで、4点B,C,E,Fを通る長方形BCFGを下の図6の

ように作ると、

      Pic_3232a

三角形BCE は三角形BCF に等積変形することができ、

この面積は長方形BCFG の半分で、長方形BCFG の面積は

   18×2=36c㎡ 

とわかります。

 

よって、正方形の面積は、長方形BCFG の4/3倍なので、

   36×4/3=48c㎡

と求められます。

 

ゆえに、辺BCを半径とする円の面積は、

   48×3.14=150.72c㎡

です。

 

 

 鎌倉学園中学の過去問題集は → こちら

 鎌倉学園中学の他の問題は → こちら

 

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