図形の回転 第２１問 （高槻中学 受験問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（高槻中学　受験問題　2012年　算数）　難易度★★

　直線Ｌと直線Ｍは垂直に交わっています。また、下の図のように

平行四辺形ＡＢＣＤ があります。このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｍのまわりに１回転させてできる

　　 立体Ｐの体積を求めなさい。

（２）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｌのまわりに１回転させてできる

　 　立体Ｑと立体Ｐの体積の比をもっとも簡単な整数の比で

　　 表しなさい。

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解答

　（１）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｍのまわりに１回転させると、

下の図１の三角形ＯＡＢが回転してできる円すいと

三角形ＢＣＤが回転してできる円すいは、合同なので、

　

求める体積は、長方形ＯＡＤＢを直線Ｍのまわりに１回転させて

できる円柱の体積と等しくなり、立体Ｐの体積は、

　 ４×４×３．１４×３＝４８×３．１４＝１５０．７２（ｃ㎥）

となります。

　（２）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｌの周りに１回転させたときに

できる立体の体積は、辺ＣＤをのばして直線Ｌとの交点をＥ と

したとき、下の図２のように三角形ＯＣＥ を直線Ｌの周りに

１回転させた円すいから、三角形ＡＤＥ，ＯＢＡを直線Ｌの周りに

１回転させた円すいを除いたもので、

立体Ｑの体積は、

　 ６×６×３．１４×８÷３－３×３×３．１４×４÷３×２個

＝（６×６×８－３×３×４×２）×３．１４÷３

＝（３６－９）×８×３．１４÷３

＝７２×３．１４

となります。

立体Ｐの体積＝４８×３．１４

立体Ｑの体積＝７２×３．１４

なので、立体Ｐの体積　：　立体Ｑの体積　＝　４８　：　７２　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝　２　：　３

となります。

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