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2012年12月17日 (月)

立体図形の切り口 第50問 正四面体 (栄東中学 入試問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (栄東中学 入試問題 2011年 算数) 難易度★★★

 すべての辺の長さが等しい三角すいを正四面体といいます。

下の図アのように、正四面体ABCDに対して、各辺のまん中の

点をE,F,G,H,I,J としたとき、次の問に答えなさい。

Pic_3218q

(1)正四面体ABCDを3点E,F,G を通る平面で切り、正四面体

   の頂点A を含む立体を切り落とします。同様に、残る3つの

   頂点B,C,D を含む立体についても切り落とします。このとき

   残った立体の体積は、元の正四面体ABCDの体積の何倍に

   なりますか。

(2)FJの長さが2cmのとき、正四面体ABCDの体積を求めなさい。

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解答

 (1)正四面体ABCDを3点E,F,G を通る平面で切ると、

下の図1のように三角すいAEFG が切り落とされます。

Pic_3219a

三角すいAEFG は正四面体ABCD と相似で、相似比は1:2より、

体積比は、1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 です。

 

正四面体ABCD の体積を【8】とすると、三角すいAEFGの体積は

【1】で、同じ体積のものがほかに3つ切り落とされるので、

残った立体の体積は、【8】-【1】×4=【4】です。

 

よって、残った立体の体積は、正四面体ABCDの体積の1/2倍

ということになります。

 

 (2)(1)で残った方の立体は、下の図2のような立体です。

Pic_3220a

この立体はすべての面が正三角形でできた正8面体です。

(3辺の長さが等しいので正三角形)

 

ここで、四角形E F I J が正方形なのか、ひし形なのかというと

点G の方向から四角形E F I J を見ると、GE=GF=GI=GJ

なので、下の図3のように正方形になります。

          Pic_3221a

(長さが異なっていたら正方形にはならない)

四角形E F I J の面積 = 2×2÷2=2

GH=2cmになるので、四角すいG-E F I J の高さ=1cmで、

正八面体の体積は、2×1÷3×2個=4/3c㎥ です。

 

よって、正四面体ABCD の体積は、この2倍なので、

 4/3 × 2 = 8/3 = 2と2/3(c㎥)

と求められます。

 

【関連問題】 → こちら

 

 

 栄東中学の過去問題集は → こちら

 栄東中学の他の問題は → こちら

 

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