平面図形の面積 第８４問 正六角形 （甲陽学院中学 入試問題 2011年（平成23年度） 算数）

問題　（甲陽学院中学　入試問題　2011年　算数）　難易度★★★

　下の図は正六角形ＡＢＣＤＥＦで、対角線ＡＣとＢＤの交点をＰ，

ＦＰをのばして辺ＢＣとの交点をＱとしたものです。このとき、

次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）ＦＰとＰＱの長さの比を求めなさい。

（２）ＢＱとＱＣの長さの比を求めなさい。

（３）三角形ＰＢＱと三角形ＰＣＦの面積の比を求めなさい。

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解答

　（１）５：１　３：２　３：１０

　（１）下の図１のように三角形ＡＢＰ と三角形ＤＣＰは合同です。

（ＡＢ＝ＣＤ、角度がすべて等しい）

　　　　

さらに、三角形ＡＢＰは、３０度、６０度、９０度の直角三角形なので

　　　　 ＡＰ　：　ＰＣ　＝　２　：　１

ということがわかります。

このことを使って、ＦＰをのばして、ＤＣの延長との交点を点Ｒ

とすると、下の図２のように三角形ＡＦＰ と三角形ＣＲＰ が

相似比 ２ ： １ということがわかります。

　　　　

図２より、ＡＦ　：　ＣＲ　＝　２　：　１　、ＦＰ　：　ＰＲ　＝　２　：　１

です。

頂点Ｂ と点Ｒ を結んでできる三角形ＢＣＲ は、

角ＢＣＲ＝６０°、ＢＣ（＝ＡＦ）　：　ＣＲ　＝　２：１　より、

３０度、６０度、９０度の直角三角形ということがわかります。

下の図３のように、ＤＣ　：　ＣＲ　＝　２　：　１　なので、

　　　　

三角形ＰＣＤと三角形ＢＲＤが相似なので、

　　　　 ＰＣ　：　ＢＲ　＝　２　：　３　

とわかります。

以上より、下の図４のように、ＡＰ　：　ＰＣ　：　ＢＲ　＝　４ ： ３ ： ２

ということがわかりました。

　　　　

次に、三角形ＢＲＱと三角形ＣＰＱが相似で、３：２の相似比なので

　　　 ＲＱ　：　ＱＰ　＝　３　：　２　です。

よって、線分ＦＲの比は、下の図５のようになっていて、

　　

比をそろえると、

　ＲＱ　：　ＱＰ　：　ＰＦ　＝　３　：　２　：　１０　

となるので、ＦＰ　：　ＰＱ　＝　１０　：　２　＝　５　：　１　です。

　（２）ＢＱ　：　ＱＣ　は、図４より、３ ： ２ です。

　（３）下の図６のように、ＢＱ：ＱＣ＝３：２ より

　　　　　三角形ＰＢＱ　：　三角形ＰＣＱ　＝　３　：　２

　　　　

ＰＱ　：　ＰＦ　＝　２　：　１０　より、

　　　　　三角形ＰＣＱ　：　三角形ＰＦＣ　＝　２　：　１０

よって、三角形ＰＢＱ　：　三角形ＰＣＦ　＝　３　：　１０　です。

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