平面図形の面積 第８３問 面積比 （洛星中学 入試問題 2011年（平成23年度） 算数）

問題　（洛星中学　入試問題　2011年　算数）　難易度★★★

　下の図のように四角形ＡＢＣＤ があり、対角線ＡＣ，ＢＤ の

交点をＯとします。辺ＡＤ上に点Ｐをとり、直線ＰＯと辺ＢＣ の

交点をＱとします。

　 三角形ＡＰＯの面積　：　三角形ＡＢＯの面積　＝　１　：　３

　 三角形ＤＰＯの面積　：　三角形ＤＣＯの面積　＝　１　：　２

のとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）三角形ＰＯＣの面積　：　三角形ＢＯＣの面積　と

　　 三角形ＰＢＯの面積　：　三角形ＣＢＯの面積　の比を

　　 求めなさい。

（２）ＢＱ　：　ＱＣ を求めなさい。

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解答

　（１）三角形ＡＰＯの面積　：　三角形ＡＢＯの面積　＝　１　：　３

なので、下の図１のように、点Ｐ，Ｂ から対角線ＡＣに垂線を下ろし

それぞれ点Ｅ，Ｆ とすると、それぞれの三角形の高さは、ＰＥ，ＢＦ

となり、ＰＥ　：　ＢＦ　＝　１　：　３　ということになります。

　　

三角形ＰＯＣの面積　：　三角形ＢＯＣの面積　の面積比は

下の図２のように、底辺ＯＣが共通しているので、

　　

高さ ＰＥ　：　ＢＦ　の比に等しく、１　：　３　となります。

同様に、三角形ＤＰＯの面積　：　三角形ＤＣＯの面積 ＝ １　：　２

ということから、下の図３のように、点Ｐ，Ｃ から対角線ＢＤに

垂線を下ろしそれぞれ点Ｇ，Ｈ とすると、

　　

それぞれの三角形の高さは、ＰＧ，ＣＨとなり、

　　　ＰＧ　：　ＣＨ　＝　１　：　２　

とわかります。

三角形ＰＢＯの面積　：　三角形ＣＢＯの面積　の面積比は

図３のように、底辺ＯＢが共通しているので、

高さ ＰＧ　：　ＣＨ　の比に等しく、１　：　２　となります。

　（２）下の図４のように、

　三角形ＰＯＣ ： 三角形ＢＯＣ ： 三角形ＰＯＢ ＝ ２ ： ６ ： ３

ということがわかりました。

　　　　　　

このことから、ＢＱ　：　ＱＣ　＝　三角形ＰＯＢ　：　三角形ＰＯＣ

と等しく、 ３ ： ２ ということがわかります。

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