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2012年12月21日 (金)

点の移動 第38問 (筑波大学附属駒場中学 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2010年 入試問題 算数)

     難易度★★★★

 

 平面上に点Oと点Pがあり、下の図1のように、Oを中心とする

円と、Pを中心とする円があります。さらに、Pを中心とする円の

周上に点Qがあります。

    Pic_2705q

 Pは、Oを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き

続け、Oのまわりを1周するのに9秒かかります。このとき、Pを

中心とする円もPと共に動きます。また、Qは、Pを中心とする円の

周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Pのまわりを1周する

のに5秒かかります。

 P,Qは、図1の位置から同時に動き始め、たとえば1秒後には

下の図2のようになります。このとき、次の問に答えなさい。

    Pic_2706q

(1)動き始めてからPがOのまわりを1周するまでに、3点O,P,

   Qを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き

   始めたときは回数に含みません。

(2)点Rは、Pを中心とする円の周上を、Qと逆回りに一定の速さ

   で動き続け、Pのまわりを1周するのに3秒かかります。Rは、

   Qと同じ位置から、Qと同時に動き始めます。

   (ア)3点P,Q,R を結ぶと初めて一直線になるのは、動き

     始めてから何秒後ですか。動き始めたときは含みません。

   (イ)動き始めてから2010秒後までに、4点O,P,Q,Rを結ぶ

     と一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始め

     たときは回数に含みません。

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解答

 (1)Qは下の図3のように、最初の位置からは、

      40+72=112度

動いていることになります。

    Pic_2707a_3

初めて3点O,P,Qが一直線にならぶのは、上の図3の

ように、最初に点Qと、点Pをはさんで180度反対側にあった

点S に追いつくことを考えればよく、点Sは1秒に40度の速さで

まわるので、

 180÷(112-40)=2.5(秒後) です。

 

2回目に一直線に並ぶのは、点QがPを中心とした円を1周して

図3の点T に追いつけばよく、点T も1秒に40度の速さで

移動しているので、追いつくのは、360÷(112-40)=5秒後

 

3回目に一直線に並ぶのは、さらに180度移動した点(Sと同じ)

に点Qが追いつけばよく、 540÷(112-40)=7.5秒後

となります。

 

このように、2.5秒ごとに3点O,P,Q は一直線に並ぶので、

点Pが1周する9秒間に、9÷2.5=3あまり2 なので、

3回一直線に並ぶことがわかります。

 

 (2)(ア)点Rは3秒で1周するので、1秒に120度の速さで

移動するので、1秒後には、下の図4のように、点Tから120度

の位置に移動します。

    Pic_2708a

最初の位置から点Rは、1秒で80度動くことがわかります。

点Q,点Rは、1秒で  80+112=192度 はなれるので、初めて

3点P,Q,R が一直線になる(点Qと点Rが180度はなれる)のは

 180÷192=15/16秒後 です。

 

 (2)(イ)2回目に3点P,Q,Rが一直線に並ぶのは、

点Qと点Rが出会えばよいので、360÷192=30/16秒後

となります。よって、3点P,Q,Rが一直線に並ぶのは、

15/16秒ごと ということがわかります。

 

(1)より、3点O,P,Qが一直線に並ぶのは、2.5秒ごとなので、

4点O,P,Q,R が一直線に並ぶのは、15/16 と2.5の

最小公倍数ごとで、下の図5のように、すだれ算より、

      Pic_2709a

1/16 × 5×3×8=7.5秒ごと ということがわかります。

 

2010秒後までに4点O,P,Q,Rが一直線になるのは、

    2010÷7.5=268回 です。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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