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2012年12月 3日 (月)

図形の移動 第44問 (灘中学 2009年 受験算数問題)

 

問題 (灘中学 2009年 受験算数問題) 難易度★★★★

 

下図のような直角三角形の内側からはみ出さないように、

半径1cmの円を2つ、点Xでくっつけたものを動かすとき、

点Xが動くことのできる範囲の面積を求めなさい。  

Pic_0129_2

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解答

 点Xが動ける範囲は、下図の黄色い部分になります。

Pic_0130

図の各点をA~F、P~Tとすると

Pic_0131

三角形ABCと三角形DEFは相似なので、EFの長さから

点Xの動く範囲を求めることにします。

 

三角形PQEと三角形BRQは合同で、三角形ABCと相似です。

8:6=BR:1なので、BR=4/3cm

10:6=BQ:1なので、BQ=5/3cm=EQ=RS

TC=1cmなので、

EF=ST=8-(4/3+5/3+1)=4cm

BC:EF=8:4=2:1なので、

三角形ABC:三角形DEFの相似比は、2:1ということがわかります。

 

よって、求める点Xが動ける範囲の面積は

三角形DEFの面積

 -半径1cmの半円の面積(三角形の内角の和=180度だから)

=4×3÷2ー1×1×3.14÷2=6-1.57=4.43c㎡ 

となります。

 

 

 灘中学の過去問題集は → こちら

 灘中学の他の問題は → こちら

 

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