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2012年12月14日 (金)

数の性質 第70問 最大公約数 (算数オリンピック 2004年(平成16年度))

 

問題 (算数オリンピック 2004年) 難易度★★★★

 4ケタの整数ABCD(A,B,C,Dは千の位から一の位までの

数字をそれぞれ表します)があります。この整数の千の位と

一の位の数字を入れかえて、4ケタの整数DBCAを作った

ところ、ABCD と DBCA の最大公約数は 63 になりました。

このような ABCD と DBCA の組をすべて求めなさい。

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解答

 ABCD と DBCA の最大公約数は 63 なので、2つの差である

 ABCD - DBCA は 63の倍数 ということがわかります。

(A>D とします)

 

 ABCD=A×1000+B×100+C×10+D

 DBCA=D×1000+B×100+C×10+A

なので、

 ABCD-DBCA=A×1000+D-D×1000-A

           =A×999-D×999

           =(A-D)×999

これが63の倍数ということがわかります。

 

63=9×7 で、999=9×111=9×3×37 なので、

(A-D)×999 が63の倍数であるためには、A-D が7の倍数

つまり、A-D=7 にならなければいけません。

 

(A,D)=(9,2)、(8,1)に限られます。

(D=0ではDBCAが4ケタにならない)

 

A=9,D=2のとき、DBCA=2BC9 → 63の倍数

 2000台の63の倍数は、63×40=2520があり、

 1の位が9になるのは、2520+63×3=2709 です。

 さらに、2709-630=2079 も 63の倍数です。

    2709=63×43     9702=63×154

    2079=63×33     9072=63×144

 43と154は公約数がなく、33と144は3の倍数です。

 よって、2709 と 9702 は63が最大公約数ということです。

 

A=8、D=1のとき、DBCA=1BC8 です。

 1000台の63の倍数は、63×20=1260 です。

 1の位が8になるのは、1260+63×6=1638 です。 

 また、1638-630=1008 も63の倍数です。

  1638=63×26   8631=63×137

  1008=63×16    8001=63×127

 26と137は公約数がなく、16と127も公約数がないので、

 1638と8631、1008と8001は最大公約数が63です。

 

よって、ABCD と DBCA の組は

 2709 と 9702 、 1638 と 8631 、 1008 と 8001

の3組があります。

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投稿: ー | 2013年1月30日 (水) 20時20分

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