立体図形の切り口 第４９問 （高槻中学 入試問題 2011年（平成23年度） 算数）
問題 （高槻中学 入試問題 2011年 算数） 難易度★★★★
１辺が６ｃｍの立方体を横に２つ並べて直方体を作りました。
（１）上の図１のように、この立体を長方形ＰＱＲＳで２つに分け
ました。点Ｘ は辺ＰＱとＢＨとの交点です。ＢＸ＝１ｃｍで、点Ｈを
含む立体の体積が残りの立体の体積の２倍になっているとき、
ＰＢの長さは何ｃｍですか。
次に、下の図２のように直方体をひし形ＰＱＲＳで２つに分け
ました。
（２）ＢＸ＝２ｃｍとします。点Ｘは辺ＰＱとＢＨの交点、点Ｗは
辺ＰＳとＢＥ の交点です。
（ア）ＲＫの長さはＰＢの長さの何倍ですか。
（イ）点Ｈを含む立体の体積が残りの立体の体積の２倍
になっているとき、ＰＢの長さは何ｃｍですか。
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解答
（１）点Ｈを含む立体の体積が残りの立体の体積の２倍に
なっているので、下の図３の台形ＡＰＱＧの面積が台形ＣＰＱＩ の
面積の２倍になっているということです。
長方形ＡＣＩＧの面積は、６×６×２＝７２ｃ㎡ より、
台形ＡＰＱＧから、７２÷３＝２４ｃ㎡（＝６×４）を除くと、
下の図３のように
ＣＭ＝１２－４＝８ｃｍ で、ＣＭのまん中の点をＴ、ＴからＧＩに
垂線を下ろし、交点をＵ、ＴＵとＰＱの交点をＶ とすると、
下の図５のように、ＴＶ＝ＶＵ＝３ｃｍになります。
ＢＴ＝２ｃｍで、三角形ＰＢＸ と三角形ＰＴＶ が相似で、
相似比が １ ： ３ なので、ＰＢ＝１ｃｍ とわかります。
（２）（ア）四角形ＰＱＲＳがひし形なので、三角形ＰＱＳ は
二等辺三角形で、ＳＥ＝ＱＨです。下の図６のように
面ＡＧＬＦと平行な面ＳＭＱＮで直方体を切ると、ＰＳとＱＲが平行
なので、角ＰＳＭ＝角ＲＱＮで、三角形ＰＳＭと三角形ＲＱＮが合同
なことから、ＰＭ＝ＮＲ です。
三角形ＰＢＸ と三角形ＱＨＸ が相似で、相似比は
ＢＸ ： ＸＨ ＝ ２ｃｍ ： ４ｃｍ ＝ １ ： ２ で、
ＰＢ ： ＨＱ ＝ １ ： ２ となるので、ＰＢ ： ＰＭ（＝ＮＲ）＝１：３
ということから、ＰＢ ： ＲＫ ＝ １ ： ２＋３ ＝ １ ： ５ です。
よって、ＲＫの長さはＰＢの長さの５倍です。
（２）（イ）図６で、四角すいＰ－ＳＭＱＮ と四角すいＲ－ＳＭＱＮ が
合同なので、Ｈを含む方の立体の体積は、四角柱ＳＭＱＮ－ＦＡＧＬ
の体積に等しくなり、これが直方体の体積の２/３なので、
ＦＳの長さ ＝ １２ × ２/３ ＝ ８ｃｍ
とわかり、ＥＳの長さ＝８－６＝２ｃｍで、ＰＢ ： ＨＱ ＝ １ ： ２ より、
ＰＢ＝２÷２＝１ｃｍ
と求められます。
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